Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике - файл n1.doc

Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике

Доступные файлы (4):

n1.doc	338kb.	11.12.2009 20:46	скачать
n2.doc	1312kb.	19.10.2009 20:02	скачать
n3.doc	1637kb.	02.11.2009 18:35	скачать
n4.doc	1118kb.	11.12.2009 20:14	скачать

n1.doc

§13. Вычислительные методы.

1. Метод характеристик.

Однородные УГД в характеристической форме ()



Задача Коши: заданы при , где нет точек вакуума.

Существует единственное решение для . Если решение известно, то для любых близких точек проведем характеристики до пересечения в точке . Далее проведем из в назад. По значениям газодинамических функций в определяются значения в

Если решение заранее не задано, то газодинамические параметры в определяются приближенно из уравнений



По найденным определяем (или )



Если задано дискретно в , то применяем линейную интерполяцию Точность вычислений можно увеличить, если коэффициенты вычислять в средней точке , а систему приближенных уравнений решать итерациями. Первое приближение для .

Задача Коши на кривой решается также, если все характеристики

выходят из точек в одну сторону (пространственно подобная кривая ). Кривая временно подобна, если она разделяет характеристики и .

Численно строится сетка из характеристик в треугольнике . Для некоторых начальных данных характеристики , не пересекаются и уходит в бесконечность при . Доказано, что точное решение единственно и непрерывно зависит от начальных

данных и возмущений. При уменьшении расстояний между узлами сетки приближенное решение стремится к точному решению в узлах сетки.

Задача Гурса с данными на характеристиках , удовлетворяет условиям на характеристиках и с условиями согласования в т. , так что 2 из 3 функций независимы. Из точек на и из точек на проводим звуковые характеристики до пересечения. проводим назад. Определим функции в узлах. Область определения решения может быть

бесконечной (из звуковые характеристики идут в бесконечность) или ограниченной, когда характеристики разных семейств пересекаются.

Задача о поршне или с ударной волной.

На кривой характеристики заданы функции, удовлетворяющие условиям на характеристиках. На неизвестной кривой характеристики задана связь между (кроме энтропии). Пусть в т. данные согласуются. Из точек и проводим характеристики до

пересечения в т., условия на характеристиках определяют функции в т. (– тоже).

Далее решаем элемент задачи Гурса.

В качестве берутся:

1. задача о поршне,

2. задача со свободной границей,

3. задача с ударной волной

4. – разгон поршня.

Общие замечания.

а) Пространственно подобная кривая

на заданы все функции	на не задано никаких условий

б) Временно подобная кривая

на задают 2 условия	на задают одно условие

Если неизвестно, то на надо задать дополнительное уравнение.

2. Схема С.К. Годунова.

На примере уравнений акустики

Начальные данные заменим кусочно постоянными функциями на сетке. Разрывы распространяются вдоль характеристик.

Характеристическая форма системы

К постоянному решению в I и II примыкает простая волна, в которой инварианты Римана и постоянны: . Обобщенное решение задачи о распаде произвольного разрыва:




Пусть – непрерывны при . На разностной сетке при начальные функции кусочно постоянны. Решаем задачу о распаде разрыва.



Заменим полученные решения при приближенным, чтобы структура решения была такой как при , т.е. была бы кусочно постоянна между узлами : Приближенные формулы получены из законов сохранения в интегральной форме. Уравнения имеют дивергентный вид. Их интегрирование по прямоугольнику по формуле Гаусса-Остроградского дает





В этих формулах (условие Куранта). В этом случае характеристики не пересекаются. Условия пересечения .

Для расчета одномерных движений газа по схеме С.К. Годунова используют уравнения газовой динамики в дивергентной форме



и используют точные решения задачи о распаде произвольного разрыва.