Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике - файл n1.doc
Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамикеДоступные файлы (4):
n1.doc
§13. Вычислительные методы. 1. Метод характеристик. Однородные УГД в характеристической форме (

)
Задача Коши:

заданы при

, где нет точек вакуума.
 | Существует единственное решение для . Если решение известно, то для любых близких точек проведем характеристики до пересечения в точке . Далее проведем из в назад. По значениям газодинамических функций в определяются значения в  |
Если решение заранее не задано, то газодинамические параметры в

определяются приближенно из уравнений
По найденным

определяем

(или

)
Если

задано дискретно в

, то применяем линейную интерполяцию

Точность вычислений можно увеличить, если коэффициенты

вычислять в средней точке

, а систему приближенных уравнений решать итерациями. Первое приближение для

.
Задача Коши на кривой 
решается также, если все характеристики
 | выходят из точек в одну сторону (пространственно подобная кривая ). Кривая временно подобна, если она разделяет характеристики и . |
 | Численно строится сетка из характеристик в треугольнике . Для некоторых начальных данных характеристики , не пересекаются и уходит в бесконечность при . Доказано, что точное решение единственно и непрерывно зависит от начальных |
данных и возмущений. При уменьшении расстояний между узлами сетки приближенное решение стремится к точному решению в узлах сетки.
 | Задача Гурса с данными на характеристиках , удовлетворяет условиям на характеристиках и с условиями согласования в т. , так что 2 из 3 функций независимы. Из точек на и из точек на проводим звуковые характеристики до пересечения. проводим назад. Определим функции в узлах. Область определения решения может быть |
бесконечной (из

звуковые характеристики идут в бесконечность) или ограниченной, когда характеристики разных семейств пересекаются.
Задача о поршне или с ударной волной.
 | На кривой характеристики заданы функции, удовлетворяющие условиям на характеристиках. На неизвестной кривой характеристики задана связь между (кроме энтропии). Пусть в т. данные согласуются. Из точек и проводим характеристики до |
пересечения в т.

, условия на характеристиках определяют функции в т.

(

– тоже).
Далее решаем элемент задачи Гурса.
В качестве

берутся:
1.

задача о поршне,
2. задача со свободной границей,
3. задача с ударной волной
4.

– разгон поршня.
Общие замечания.
а) Пространственно подобная кривая
 |
 |
на заданы все функции | на не задано никаких условий |
б) Временно подобная кривая
 |
 |
на задают 2 условия | на задают одно условие |
Если

неизвестно, то на

надо задать дополнительное уравнение.
2. Схема С.К. Годунова. На примере уравнений акустики
Начальные данные заменим кусочно постоянными функциями на сетке. Разрывы распространяются вдоль характеристик.
 | Характеристическая форма системы
 |
К постоянному решению в I и II примыкает простая волна, в которой инварианты Римана

и

постоянны:

. Обобщенное решение задачи о распаде произвольного разрыва:
Пусть

– непрерывны при

. На разностной сетке при

начальные функции кусочно постоянны. Решаем задачу о распаде разрыва.
Заменим полученные решения при

приближенным, чтобы структура решения была такой как при

, т.е. была бы кусочно постоянна между узлами

:

Приближенные формулы получены из законов сохранения в интегральной форме. Уравнения имеют дивергентный вид. Их интегрирование по прямоугольнику по формуле Гаусса-Остроградского дает
В этих формулах

(условие Куранта). В этом случае характеристики не пересекаются. Условия пересечения

.
Для расчета одномерных движений газа по схеме С.К. Годунова используют уравнения газовой динамики в дивергентной форме
и используют точные решения задачи о распаде произвольного разрыва.