Контрольная работа - Математические методы и модели в экономике (решение задач) - файл n1.doc

Контрольная работа - Математические методы и модели в экономике (решение задач)

Доступные файлы (1):

n1.doc

180kb.

31.03.2014 17:13

скачать

n1.doc

Задание №3

Текст задания

Представим баланс банка в следующей форме:
ЦБ + КР = ДВ + СД + К,
где ЦБ — ценные бумаги; КР — кредиты; ДВ — депозиты до востребования; СД — срочные депозиты; К — собственный капитал. Прибыль на ценные бумаги и прибыль по кредитам обозна­чены П_ЦБ и П_КР соответственно. Издержки по привлечению де­позитов и по капиталу обозна­чены И_ДВ и И_СД . Отсюда прибыль банка
Пр = П_ЦБ ЦБ + П_КР КР – И_ДВ - И_СД. (1)
Необходимо максимизировать целевую функцию (1) при следующих ограничениях.

1. Балансовое ограничение:

ЦБ + КР < 100.

2. Ликвидное ограничение:

ЦБ > 0,30 (ЦБ + КР) или

ЦБ > 0,43 КР.

3. Кредитное ограничение:

КР > 35.

Цифровые значения заданы условно в млн. долларов.

Финансовая структура банка [ДВ+СД+К] представлена в таблице 2. Резервные требования по ДВ и СД равны, соответственно, 10% и 5%. С учетом резервных требований баланс банка принимает следующий вид:

Р + ЦБ + КР [ДВ+СД+К] или ЦБ + КР [ДВ+СД+К] – Р, (2)

Ограничения – экономические нормативы Инструкции №1 ЦБ РФ

1. 
   Норматив достаточности капитала (H1):
   

где R_ЦБ и R_КР коэффициенты риска; B1 – предельное значение H2, значения которых представлены в таблице 1.

2. 
   Норматив текущей и мгновенной ликвидности (H2 ; H3) принять равными друг другу и рассчитывать по формуле
   

где B2 – предельное значение H2.

Величина B2 представлена в таблице 1.

3. 
   Норматив долгосрочной ликвидности (H4):
   

где B4 – предельное значение H4.

Величина B4 представлена в таблице 1.

4. 
   Норматив общей ликвидности (H5):
   

где B5 – предельное значение H5.

Величина B5 представлена в таблице 2.
Таблица 2

Номер варианта	ДВ	СД	К	ПЦБ	ПКР	ИДВ	ИСД	RЦБ	RКР	B1	B2	B4	B5	[ДВ+СД +К]
00	50	42	8	0,1	0,15	-	-	-	-	-	-	-	-	100
1	50	42	8	0,1	0,15	0,08	0,1	20%	20%	5%	20%	120%	10%	100
2	50	42	8	0,1	0,15	0,08	0,1	20%	30%	6%	30%	120%	20%	100
3	50	42	8	0,20	0,25	0,1	0,12	25%	40%	7%	50%	120%	-	100
4	50	42	8	0,20	0,25	0,1	0,12	25%	50%	-	70%	-	-	100
5	50	42	8	0,20	0,25	0,15	0,18	30%	60%	-	-	-	-	100

Представить результаты анализа оптимального решения, которые формируются в Excel автоматически в трех отчетах.
Анализ оптимального решения

Анализ оптимального решения начинается после успешного решения задачи, когда на экране появляется окно «Результаты поиска решения. Решение найдено». С помощью этого диалогового окна можно вызвать отчеты трех типов:

Результаты;

Устойчивость;

Пределы.
Отчет по результатам

Отчет состоит из трех таблиц:

Таблица 1 приводит сведения о целевой функции до начала вычислений и в результате решения задачи.

Таблица 2 приводит значения искомых переменных, полученных в результате решения задачи.

Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений.
Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц.

В таблице 1 приводятся следующие значения для переменных:

• 
  результат решения задачи;
  
• 
  редуц. стоимость, т.е. дополнительные двойственные переменные, которые показывают, насколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой переменной в оптимальное решение;
  
• 
  коэффициенты целевой функции;
  
• 
  предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.
  

В таблице 2 приводятся аналогичные значения для ограничений:

• 
  величина использованных ресурсов;
  
• 
  теневая цена, т.е. двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу;
  
• 
  значения приращения ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.
  

Решение № варианта 1

Постановка задачи. Целью решения данной оптимизационной задачи является максимальное нахождение прибыли банка при оптимальном размере ценных бумаг (ЦБ) и кредитов (КР) с учетом существующих в задаче ограничений.

Целевая функция в соответствии с условиями задачи примет вид:

П_ЦБ ЦБ + П_КР КР – И_ДВ - И_СД. ? max или в более удобной форме для 1-го номера варианта: 0,1х1 + 0,15х2 -0,08х1 – 0,1х2 ? max , где

0,1, 0,15, 0,08, 0,1 – вклад в прибыль от единицы каждого банковского продукта – ценных бумаг (х1) и кредитов (х2);

х_1, х_2, — количество каждого продукта, соответственно ценных бумаг (х1) и кредитов (х2).

Выполним формализацию существующих ограничений в виде системы неравенств следующего вида (часть данных из таблицы 2 – условия задания, причем судя по балансовым данным пассив банка не меняется!):

- Балансовое ограничение: х1 + х2 < 100.

- Ликвидное ограничение: х1 > 0,30 (х1 + х2) или х1 > 0,43 х2.

- Кредитное ограничение: х2 > 35.

- Резервные требования по ДВ и СД равны, соответственно, 10% и 5% или Рт1 = 0,1ДВ и Рт2 = 0,05СД.

- По условию задачи пассив банка не меняется тогда ДВ = 50; СД = 42; К = 8.

- Ограничения по резервных требованиям и баланс банка принимает следующий вид: Р + ЦБ + КР [ДВ+СД+К] или ЦБ + КР [ДВ+СД+К] – Р, или х1 + х2 [ДВ+СД+К] – Р или х1 + х2 [100] – 7,1 или х1 + х2 92,9

- Ограничения по нормативу достаточности капитала (H1):

или или больше 5%

- Ограничения по нормативу текущей и мгновенной ликвидности или или больше 20%.

- Ограничения по нормативу долгосрочной ликвидности (H4):

или или больше 120% (следует отметить, что этот норматив заведомо не выполняется, т.к. выше мы ввели в соответствии с условием задания Балансовое ограничение: х1 + х2 < 100)

- Ограничения по нормативу общей ликвидности (H5):

или или больше 10%.

Решение задачи

1 Введем в таблицу исходные данные:

- значения: ДВ, СД, К, ….., В5 разместим в ячейках D4:P4;

- в ячейки B2:C2 поместим изменяемые параметры (х1 и х2)

Для решения оптимизационных задач используем модуль Поиск решения в меню Сервис.

Ниже показано на рисунках как выглядит решение нашей задачи




Таким образом в ячейке D11 найдено решение: Прибыль банка равна 4,33 млн. долларов при ЦБ = 27,93 млн. долларов и КР = 64,96 млн. долларов.

Отчет по результатам представлен ниже.

Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$D$11	ДВ	0	4,338251748

Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$4	ЦБ	50	27,93496503
	$C$4	КР	50	64,96503497

Ограничения
Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
$B$4	ЦБ	27,93496503	$B$4>=$C$9	связанное	0
$Q$4	+К]	100	$Q$4>=$B$4+$C$4+$D$9+$E$9	связанное	0
$B$9	Рдв ЦБ	0,43	$B$9>=0.43	связанное	0
$M$4	-	5%	$M$4<=$F$4/($B$4*$K$4+$C$4*$L$4)	не связан.	0,380570506
$M$4	-	5%	$M$4<=$F$4/($B$4*$K$4+$C$4*$L$4)%	не связан.	43,00705059
$P$4	-	10%	$P$4<=$B$4/($B$4+$C$4)%	не связан.	29,96993007
$Q$4	+К]	100	$Q$4>=$D$4+$E$4+$F$4	связанное	0
$F$4	К	8	$F$4>=0	не связан.	8
$F$9	Рдв К	100	$F$9>=$B$4+$C$4	не связан.	7,1
$F$3	К	8	$F$3=$F$4	не связан.	0
$C$4	КР	64,96503497	$C$4>=35	не связан.	29,96503497
$C$4	КР	64,96503497	$C$4<=$Q$4	не связан.	35,03496503
$B$4	ЦБ	27,93496503	$B$4>=0	не связан.	27,93496503
$C$4	КР	64,96503497	$C$4>=0	не связан.	64,96503497
$D$4	ДВ	50	$D$4>=0	не связан.	50
$E$4	СД	42	$E$4>=0	не связан.	42
$D$4	ДВ	50	$D$4=50	не связан.	0
$E$4	СД	42	$E$4=42	не связан.	0

Отчет по устойчивости представлен ниже.

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.
	Ячейка	Имя	значение	градиент
	$B$4	ЦБ	27,93496503	0
	$C$4	КР	64,96503497	0

Ограничения
			Результ.	Лагранжа
	Ячейка	Имя	значение	Множитель
	$B$4	ЦБ	27,93496503	-0,034965038
	$Q$4	+К]	100	-0,134965039
	$B$9	Рдв ЦБ	0,43	0
	$M$4	-	5%	0%
	$M$4	-	5%	0%
	$P$4	-	10%	0%
	$Q$4	+К]	100	0
	$F$4	К	8	0
	$F$9	Рдв К	100	0
	$F$3	К	8	0

Отчет по пределам представлен ниже.

	Целевое
Ячейка	Имя	Значение
$D$11	Пр	4,338251748

		Изменяемое			Нижний	Целевой		Верхний	Целевой
	Ячейка	Имя	Значение		предел	результат		предел	результат
	$B$4	ЦБ	27,93496503		27,93496503	4,338251748		27,93496503	4,338251748
	$C$4	КР	64,96503497		35	-0,156503497		64,96503497	4,338251748