Шпоры по Имитационному моделированию экономических процессов - файл n3.doc

Шпоры по Имитационному моделированию экономических процессов
Скачать все файлы (16678.2 kb.)

Доступные файлы (3):
voprosy_po_imep_2011.doc25kb.12.01.2012 17:25скачать
n2.doc10456kb.14.01.2012 16:34скачать
n3.doc10454kb.14.01.2012 16:13скачать

n3.doc

  1   2

  1. Понятие системы

Понятия «Системы» образуют 4 группы: первую группу составляют наиболее общие определения системы как комплекса элементов, находящихся во взаимодействии. Вторая группа определений отражает точку зрения кибернетики, согласно которой выделяются входы и выходы системы. Третью группу составляют определения системы, связывающие её с целенаправленной активностью. Четвертую группу определений системы выводят через указание признаков, которыми должен обладать объект, чтобы его можно было отнести к категории «система».

Система — это объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, сведений, а также знании о природе, обществе и т. п. Каждый объект, чтобы его можно было считать системой, должен обладать четырьмя основными свойствами или признаками (целостностью и делимостью, наличием устойчивых связей, организацией и эмерджентностью).

Если говорить о моделировании, то в его основе лежит рассмотрение объекта (некоторого устойчивого образования, которое выделяется из окружающей среды в определенный промежуток времени в определенной пространственной области) как системы. То есть просходят процессы возникновения,изменения и исчезновения объекта.

При этом моделирование процесса функционирования системы называется имитацией.


  1. Моделирование как метод научного познания

Понятие модели является ключевым в общей теории систем. Моделирование как мощный, а часто и единственный метод исследования подразумевает замещение реального объекта другим - материальным или идеальным.

Моделирование, в таком случае, представляет собой процесс построения, изучения и применения моделей. Главная особенность моделирования состоит в том, что это метод опосредованного познания при помощи объектов-заменителей. Модель выступает как инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом с целью изучения последнего, т.е. объект рассматривается как бы через "призму" его модельного представления. Процесс моделирования,таким образом, включает в себя три элемента: субъект исследования (исследователь), объект исследования, модель. 

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование – не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство должно учитываться не только на этапе построения модели, но и на завершеющей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.


  1. Аналогия. Связь с понятием «система»

Аналогия – это суждение об определенном свойстве различных предметов и явлений. Свойства любой системы не изолированы друг от друга, а тесно взаимосвязаны. При этом изменение любого существенного признака обычно сказывается на других признаках. Если 2 объекта(оригинал и модель) обладают определенной совокупностью общих свойств и один из объектов(модель) обладает еще нек-оторым св-ойством, то и другой объект должен обладать этим же св-вом. Модель – созданный челом объект любой природы (материальной \умозрит-ой), к-ый воспроизводит оригинал т.о., что изучение природы модели способно дать нов достоверную инфо об оригинале. Модель отличается от оригинала: оригинал обладает бесконеч кол-м св-в, а модель д. воспроиз-ть фиксированный набор св-в оригинала, к-ый нужен для исслед-ия. Пример: пусть объекты А и В характеризуются опред-ым набором св-в. И пусть объект В имеет еще одно св-во. Пользуясь аналогией м. предположить, что объект А также имеет это св-во. Система харак-ся 6 осн признаками: 1) система д.б. разделима на составные подсистемы, к-ые также м.б. декомпозированы до элементов. Элемент-неделим. 2)наличие устойчивых связей м\у элементами, к-ые д.б. намного сильнее, чем связи этих элементов с др объектами. 3)существование организации, или структуры в системе. 4)наличие системного эффекта-появление у системы нов св-ва, к-ое не было присуще ни одному элементу до соединения в систему. 5)наличие цели функционирования (сист. эффект должен соотв-ть цели), а также ограничений, к-ые накладываются на систему. 6)наличие окружающей среды (система взаимод-т с окруж средой ч\з входы и выходы) Видим, что св-ва взаимосвязаны в системе. Следовательно, если оригинал и модель обладают одними совокупностями опред-ых св-в и модель обладает еще некоторым св-ом (по-видимому связанным с остальной сов-тью св-в), то и оригинал облад-т этим св-ом. Однако выводы, основанные на аналогии, не явл-ся абсолютно достоверными и нуждаются в проверке.

  1. Взаимосвязь эксперимента и модели

Отношения между экспериментом и моделью могут выразиться: Эксперимент явл источником И. д/моделирования. С другой стороны, модель диктует какой именно эксперимент следует проводить. Модель явл источником эксперимента. Взаимодействие эксперимента и модели заключается в том, что не только опыт явл критерием, но и сама постановка эксперимента диктуется моделью, т.к. вытекает из необходимости ее проверки и уточнения.

В этом смысле модель м. Трактовать модель как вопрос, задаваемый исследователем природы. Всякий вопрос состоит из 2 составляющих: утверждающий, вопрошающий. Утверждающая часть назыв-ся предпосылкой вопроса – это знание, делающее вопрос возможной. Предпосылка м/б верной, ошибочной или недостаточной д/постановки вопроса.



произведен опыт:

требуется оценить вектор параметров имеем статистическую выборку: f(x)





ищем наиболее верную оценку этой функции.

Вывод: при разных предпосылках вопрос совершенно разного комплекса по построению модели.

Экспериментальной работой занимается дисциплина «Планирование эксперимента».(при min затратах получить max результат.)


  1. Черный ящик. Основная проблема моделирования

«Черным ящиком» называют систему внутренне содержание которого наблюдателю неизвестна, а доступны только вход и выход. Выбор этих входов и выходов и есть утверждающая часть модели, которая и будет определять организационную модель. Конечная цель – построение матем модели объекта, т.е. матем оператора А, связывающего выход с входом Компоненты называют факторами ли предикторами, а - откликом. Структуру оператора А мы не знаем. * - Внутренне содержимое скрыто от наблюдателя

Решением задачи «черным ящиком» называют идентификации системы в широком смысле. Основная задача – определение структуры системы, т.е. определение общего вида матем оператора, связ вход с выходом. 2-я задача – определение синтезов параметров. Это задача определения конкретных решений параметров, связывающий вход с выходом.

Идентификацию в узком смысле называют «серым ящиком». Предполагается точно известная структура системы и необходимо определить лишь ее неизвестный параментр по результатам эксперимента. (МНК предназначен для серого ящика, т.к. мы должны точно знать функцию). Многие прикладные задачи можно свести к задаче «серого ящика», использую матем системы.

Понимание эксперимента зависит от того, какая информация может быть получена из эксперимента системы.

Надо построить математическую модель, которая отражала бы зависимость , набор и выход. Векторный выход называется откликом, а функция - функция отклика.

Описание функционирования черного ящика сводится к соотношению между x и y – между откликами .

Пример: Y=(x)



Метод наименьших квадратов; степенной полином



1,2,3,4,5,6 2,4,6,8,10,12

(n)=2*n 7->7

2n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

78->734

Осн. проблема - Это выбор структуры, модели, описывающий черный ящик.

Трудность выбора математического выражения, определяющего структуру системы существенно зависит от априорного знания системы.

  1. Общая схема моделирования

Имитационное моделирование является мощным инструментом исследования сложных экономических систем. Естественно, что и сами имитационные модели оказываются достаточно сложными как с точки зрения заложенного в них математического аппарата, так и в плане машинной реализации. При этом сложность любой моджели определяется двумя факторами:

- сложностью исследуемого объекта-оригинала;

- точностью, предъявляемой к результатам расчетов.

Использование машинного эксперимента, как средства решения сложных прикладных проблем, несмотря на присущие каждой конкретной задаче специфику, имеет ряд общих черт (этапов). Каждому из этапов присущи собственные приемы, методы, технологии. Отметим, что все эти этапы носят ярко выраженный творческий характер и требуют от разработчика модели особой подготовки.

После того как имитационная модель реализована на ЭВМ, исследователь должен выполнить последовательность следующих этапов (их часто называют технологическими):

- испытание модели;

- исследование свойств модели;

- планирование имитационного эксперимента;

- эксплуатация модели ( проведение расчетов).




  1. Классификация видов моделирования.



Физическое моделирование - моделируемый объект или процесс воспроизводится исходя из соотношения подобия, вытекающего из схожести физических явлений. Используются физ модели, элементы к-ых подобны натуральным объектам исследования, но имеют иной масштаб (н-р, макет самолета). Физ модели могут иметь вид полномасштабных макетов (н-р, авиационные тренажеры). Физ модели конкретны, очень наглядны, часто их можно даже потрогать руками. Физ мод-ие прим-ся для мод-ия сложных объектов исслед-я, не имеющих точного матем-го описания. При физ модел-ии для иссл-я процесса порой используют процесс другой физич природы, к-ый описывается аналогичными матем-ми зависимостями.

Математическое моделирование – процесс установления соответствия реальной системе S мат модели M и исследование этой модели, позволяющее получить хар-ки реальной системы. Применение мат модел-ния позволяет иссл-ть объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны.

Аналит-е моделирование - процессы функц-ия элем-в записываются в виде мат-х соотношений (алгебр-х, интегральных, диффер-х, логич-х и т.д.). Мат. модель может вообще не содержать в явном виде искомых величин. Ее необходимо преобразовать в систему соотношений относ-но искомых величин, допускающую получение нужного результата чисто анал-ми методами. Под этим понимается получения явных формул вида <искомая величина> =<аналитическое выражение>, либо получение урав-й известного вида, решение которых также известно. В некоторых случаях возможно качественное исследование модели, при котором в явном виде можно найти лишь некоторые свойства решения.

Компьютерное моделирование – метод решения задач анализа или синтеза сложной системы на основе использования ее компьютерной модели.

Численное мод-е использует методы вычис-й матем-ки и позволяет получить лишь приближенные решения. Решение задачи бывает менее полным, чем в анал-м мод-и. Иногда оно сводится к небольшому числу частных случаев. Принципиальный недостаток численного мод-я закл-ся в том, что роль такого мощного инструмента исслед-я как компьютер сводится лишь к автом-й реализации выбранного численного метода. Моделирующий алгоритм в большей степени отражает именно численный метод, чем особенности модели. Поэтому при смене численного метода приходится заново перерабатывать алгоритм моделирования.

Имит-е мод-ие - воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функц-я исследуемой системы с соблюдением логической и временной послед-ти реальных событий. Для имит- мод-я характерно воспроизведение событий, происходящих в системе (описываемых моделью) с сохр их логической структуры и временной последовательности. Оно позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в опред-е моменты времени. Имитационное моделирование аналогично экспериментальному исследованию процессов на реальном объекте.


  1. Виды математического моделирования. Примеры



Аналит-е моделирование - процессы функц-ия элем-в записываются в виде мат-х соотношений (алгебр-х, интегральных, диффер-х, логич-х и т.д.). Мат. модель может вообще не содержать в явном виде искомых величин. Ее необходимо преобразовать в систему соотношений относ-но искомых величин, допускающую получение нужного результата чисто анал-ми методами. Под этим понимается получения явных формул вида

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, либо получение урав-й известного вида, решение которых также известно. В некоторых случаях возможно качественное исследование модели, при котором в явном виде можно найти лишь некоторые свойства решения.

Численное мод-е использует методы вычис-й матем-ки и позволяет получить лишь приближенные решения. Решение задачи бывает менее полным, чем в анал-м мод-и. Принципиальный недостаток численного мод-я закл-ся в автом-й реализации выбранного численного метода. Моделирующий алгоритм в большей степени отражает именно численный метод, чем особенности модели. Поэтому при смене численного метода приходится заново перерабатывать алгоритм моделирования.

Имит-е мод-ие - воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функц-я исследуемой системы с соблюдением логической и временной послед-ти реальных событий. Для имит- мод-я характерно воспроизведение событий, происходящих в системе (описываемых моделью) с сохр их логической структуры и временной последовательности. Оно позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в опред-е моменты времени. Имитационное моделирование аналогично экспериментальному исследованию процессов на реальном объекте, т.е. на натуре.


  1. Получение случайных чисел с произвольным законом распределения методом обратных функций

Пусть требуется получить значения случайной величины X, распределенной в интервале (a;b) с плотностью вероятности f(x).

Стандартный метод моделирования основан на том, что интегральная функция распределения любой непрерывной случайной величины равномерно распределена в интервале (0;1), т.е. для любой случайной величины X с плотностью распределения f(x) случайная величина равномерно распределена на интервале (0;1).

Тогда случайную величину X с произвольной плотностью распределения f(x) можно рассчитать по следующему алгоритму, графическое решение смотрите на рисунке 1:

1. Необходимо сгенерировать случайную величину r (значение случайной величины R), равномерно распределенную в интервале (0;1).а

2. Приравнять сгенерированное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение .

3. Решая уравнение X=F-1(r), находим искомое значение X.

Такой способ получения случайных величин называется методом обратных функций.

Графическое решение

.





  1. Моделирование случайных объектов. Квазиравномерное распределение

При моделировании процессов и сист.исп-ся 3 вида случ.объектов. 1.сл.величины, 2.сл.события, 3.сл.процессы. Случайная величина , имеющая квазиравномерное распределение в интервале [0,1], принимает значения с вероятностями .

Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной СВ соответственно имеют вид:

M()=1/2



Таким образом, МО квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим ожиданием равномерной случайной последовательности интервала [0,1], а дисперсия отличается множителем (2n + 1) / (2n – 1), который при достаточно больших n близок к единице.

На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел, т.к. можно оперировать только с конечным множеством чисел, и для получения значений х случайной величины  используют формулы; поэтому такие последовательности называют псевдослучайными. Способы получ.квазир.сл.чисел:1.при помощи спец.таблиц, 2.при помощи физич.датчиков (рулетки,ген.шумов и др). 3. Спец.прогр.датчики получения квазиравн.случ.чисел.

  1. Получение случайных чисел, подчиняющихся экспоненциальному закону

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром ? > 0, если её плотность имеет вид

.

Функция экспоненциального распределения:

Алгоритм формирования значений случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону:

1.Вводятся исходные значения: количество генерируемых величин N (не менее 100) и математическое ожидание экспоненциального закона распределения (THETA);

2.Обнуляется переменная К для подсчета количества генерируемых случайных величин;

3.Генератор псевдослучайных чисел формирует число;

4.Вычисляется случайная величина по формуле 2.7;

5.Значение величины выводится на печать;

6.Значение счётчика случайных величин увеличивается на единицу;

7.Процедура формирования случайных величин повторяется до тех пор, пока не будет получено заданное количество.



  1. Методы получения равномерно распределенных случайных чисел

При моделировании процессов и сист.исп-ся 3 вида случ.объектов. 1.сл.величины, 2.сл.события, 3.сл.процессы. Сл.величина-сл.время, сл.события-работоспос.сист. в сл.момент времени сл.события. Всегда необходима выработка случ.чисел. 1.кол-во выр-х чисел должно быть достаточно большим. Возможность создания им.модели оч.сильно зависит от наличия экон и простых способов получения чисел.

Получение случ.чисел [0,1]; (0,1); (0,1]. Способы получения. Пусть ?Ђ (0,1]-равном.распр.случ.величина. xЂ(a,b]-любой интервал. X=a+(b-a)?-перераспред.

если мы хотим получить равном.распр.число, то надо взять число с вероятностью Ѕ. Создадим случ.послед-ть zi, z1, z2,…считая ее бесконечной,тогда величина, постр. В виде

, будет случайным числом. Вероятность попадания сл.величины в интервал длиной Ѕ равна длине интервала. Раз вероятность попадания равна Ѕ то что нужно сгенерировать бескон.послед.сл.величин z1…zn и считать их двоичными знаками ?. Проблема, если zi??, то число тоже бесконечное, но на машине это сделать нельзя,можно ген-ть определенную конечную послед-ть. Если если комп.с k разр.сеткой,то в ней можно записать k разл.чисел с одинак.вер-ми .


  1. Метод середины квадрата. Общая характеристика, основные недостатки. Требования к функции рекуррентной формулы

Одной из первых арифметических процедур, использованных для вычисления последовательностей равномерно распределенных псевдослучайных чисел, был метод серединных квадратов. В этом методе, предложенным фон Нейманом и Метрополисом в 1946 г.,каждое новое число в последовательности получалось взятием средних m цифр из числа, полученного возведением в квадрат первоначального m-значного числа. Метод серединных квадратов состоит из следующих шагов: 1.взять произвольное четырехзначное число. 2.возвести его в квадрат и,если нужно,добавить слева нули до восьмизначного числа. 3. Взять четыре цифры из середины в качестве первого случайного числа. 4.возвести в квадрат четырехзначное число, полученное на щаге 3 (опять при необходимости добавляя слева нули до восьмизначного числа). 5.повторять шаги 3 и 4 до получения необходимого количества случайных чисел.

Алгоритм получения последовательности случайных чисел методом серединных квадратов сводится к следующему:

Пусть имеется 2n-разрядное число, меньше 1:

.

Возведем его в квадрат:

,

а затем возьмем средние 2n разрядов:

,

которые и будут очередным числом.

Например:





и т.д.

Суть метода: предыдущее случайное число возводится в квадрат, а затем из результата извлекаются средние цифры.

К сожалению этот метод трудно проанализировать,он работает сравнительно медленно и не дает статистически удовлетворительных результатов.так,например,корреляцию между первым числом и длиной неповторяющейся последовательности (называемой периодом) заранее оценить очень трудно. Весьма часто последовательность случайных числе может оказаться слишком короткой (или,что хуже,в ней может отсутствовать случайность). Прежняя популярность данного метода простотой описания и легкостью понимания. Можно указать еще такие недостатки: 1. Если какой-нибудь член последовательности окажется равным нулю, то все последующие члены также будут нулями, 2. Последовательности имеют тенденцию "зацикливаться", т. е. в конце концов, образуют цикл, который повторяется бесконечное число раз.

Свойство "зацикливаться" присуще всем последовательностям, построенных по рекуррентной формуле xi+1=f(xi).

  1. Общие свойства программных датчиков псевдослучайных чисел

Три варианта получения последовательностей чисел:

1) таблица случайных чисел. Объем любой таблицы конечен, и сколько-нибудь сложные расчеты с ее помощью невозможны. Через некоторое время приходится повторяться. Кроме того, обычно обнаруживались те или иные отклонения от случайности.

2) физические датчики случайных чисел. Основной недостаток - нестабильность, непредсказуемые отклонения от заданного распределения (обычно - равномерного).

3) расчетный. В простейшем случае каждый следующий член последовательности рассчитывается по предыдущему.

          В настоящее время применяется именно третий вариант. Он не соответствует интуитивному представлению о случайности. Расчетный путь получения последовательности псевдослучайных чисел противоречит интуиции и подходу к определению случайности на основе теории алгоритмов, развитому акад. А.Н. Колмогоровым. Но во многих прикладных задачах он работает.

          Методу статистических испытаний посвящена обширная литература Время от времени обнаруживаются недостатки у популярных датчиков псевдослучайных чисел. Так, например, в середине 1980-х годов выяснилось, что для одного из наиболее известных датчиков три последовательных значения связаны линейной зависимостью



          Итоги.Во многих случаях решаемая методом статистических испытаний задача сводится к оценке вероятности попадания в некоторую область в многомерном пространстве фиксированной размерности. Тогда из чисто математических соображений теории чисел следует, что с помощью датчиков псевдослучайных чисел поставленная задача решается корректно.

          В других случаях приходится рассматривать вероятности попадания в области в пространствах переменной размерности. Типичным примером является ситуация, когда на каждом шагу проводится проверка, и по ее результатам либо остаемся в данном пространстве, либо переходим в пространство большей размерности.


  1. Мультипликативный конгруэнтный метод получения равномерно распределенных псевдослучайных чисел

Конгруэнтный метод представляет собой арифметическую процедуру для генерирования конечной последовательности равномерно распределенных чисел. С использованием нескольких рекуррентных формул было построено множество конгруэтнных алгоритмов. В основе каждого из них лежит фундаментальное понятие конгруэнтности (два целых числа A и B конгруэнтны(сравнимы) по модулю m(где m-целое число) тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что A-B=km, т.е если разность A-B делится на m и если числа А и В дают одинаковые остатки при делении на абсолютную величину числа m. Это определение записывается как A=B(mod m) и читается «A конгруэнтно В по модулю m» ) Основная формула мультипликативного конгруэнтного метода имеет вид : Хi+1=aX1 (mod m), где a и m – неотрицательные целые числа. Согласно этому выражению, мы должны взять последнее случайное число Хi , умножить его на постоянный коэффициент а и взять модуль полученного числа по m. Поэтому для генерирования последовательности чисел Хi нам необходимы начальные данные Х0 , множитель а и модуль m. Любой генератор псевдослучайных чисел может дать лишь конечное множество целых случайных чисел, после которого последовательность начинает повторяться. Период, или длина последовательности, Р зависит от вычислительной машины и от выбранного модуля, а статистические свойства полученной последовательности зависят от выбора начального значения и множителя. Выбрать а, Х0 и m следует так, чтобы обеспечить максимальный период и минимальную корреляцию между генерируемыми числами.

  1. Смешанный и аддитивный конгруэнтный методы получения равномерно распределенных псевдослучайных чисел.

Смешанный метод

Сначала выбирается значение m. Чтобы получить длинный период и высокую плотность величин xi в интервале [0, 1], величина m должна иметь большое значение. Самым удачным выбором является m=2b, где b – число битов в слове задействованного компьютера.

Работа этих генераторов основана на использовании формулы:

xi+1 = (a xi + C) (mod m), .

С вычислительной точки зрения смешанный метод генерации последовательности неотрицательных целых чисел сложнее мультипликативного на одну операцию сложения, но при этом возможность выбора дополнительного параметра позволяет уменьшить возможную корреляцию получаемых чисел. Однако экспериментальная проверка качества генерируемой последовательности чисел на основе этой формулы является сложнее.

Грин, Смит и Клем предложили аддитивный конгруэнтный метод. Он основан на использовании рекуррентной формулы

.

При X0=0 и X1=1 этот приводит к особому случаю, называемому последовательностью Фибоначчи.


  1. Проверка независимости чисел в псевдослучайной последовательности. Критерий разностей

Сумма сл.величин если они независ др от др и распред равн на [0,1] подчинятется треугольному распр-ю.

Di=?i-?i-1



Берем распределение этих разностей, строим гистограммы и с помощью x2 проверяем соответствие треугольному знакому. Проверяем, в силу каких причин ошибки. Если гипотеза треуг распр-я отклоняется, то числа статистически независимы.





  1. Конгруэнтные методы получения равномерно распределенных псевдослучайных чисел

Конгруэнтные методы генерирования случайных чисел получили наиболее широкое распространение для формирования на ЭВМ псевдослучайных последовательностей .

Два целых числа a и b называются конгруэнтными (сравнимыми) по модулю m, где m – целое число, если разность ( a ? b ) делится на m без остатка, а числа a и b дают одинаковые остатки от деления на m. Например, 2568 и 148 (по модулю 10), 1746 и 511 (по модулю 5), 6493 и 2221 ( по модулю 2) и т.д.

Конгруэнтные методы описываются в виде рекуррентного соотношения следующего вида: X i +1 = ? X i + ё (mod m) (i = 0, 1, 2, ...) , где X i , ? , ё , m – неотрицательные целые числа; X 0 – начальное значение

псевдослучайной последовательности; ? – множитель; ё – аддитивная константа; m – модуль.

Каждое новое значение X i +1 псевдослучайной последовательности представляет собой целочисленный остаток от деления на модуль m суммы произведения предыдущего значения X i на множитель ? и

аддитивной константы ё . Последовательность псевдослучайных чисел в интервале (0; 1) формируется путем деления полученных целочисленных значений X i на модуль m : xi = X i / m (i = 1, 2 , ...) .

Описанный метод генерирования псевдослучайных чисел получил название смешанного конгруэнтного метода.

В некоторых случаях используется более простой метод генерирования псевдослучайных чисел, представляющий собой частный случай смешанного метода, когда ё = 0 , и получивший название

мультипликативного конгруэнтного метода. В этом случае рекур- рентное соотношение имеет вид X i +1 = ? X i (mod m) (i = 0, 1, 2, ...) .

На каждом шаге полученное случайное число (множимое) умножается на некоторое постоянное число (множитель) и затем делится на другое постоянное число (делитель). В качестве нового случайного числа принимается остаток от деления, который служит дробной частью случайного числа, равномерно распределённого в интервале (0; 1).


  1. Программный датчик RANDU. Общая характеристика, принцип работы, особенности

Этот датчик специально предназначен для системы IBM и образует 229 значений перед началом повторений, т.е. длина цикла равна 229 (при 32-х разрядном машинном слове). Алгоритм датчика реализует метод остатка степеней



Назначение датчика RANDU: Вычисление равномерно распределенных случайных действительных чисел YF в интервале [0,1] и случайных целых чисел IY в интервале [0,231]. В качестве входа служит целое случайное число IX, на выходе образуется новое целое число IY и вещественное YF.

Обращение к датчику: RANDU (IX,IY,YF).

Описание параметров:

1) IX – при первом обращении – нечетное целое число с числом цифр

2) После первого обращения IX=IY, где IY – целое число, вычисленное при предыдущем обращении.

3) IY – полученное в результате целое случайное число, требуемое при последующих обращениях. IY находится в интервале [0, 231].

4) YF– полученное в результате равномерно распределенное действительное число в интервале [0,1], представленное в форме с плавающей запятой.




Используя датчик RANDU, построим алгоритм вычисления последовательности равномерно распределенных случайных чисел и ее печать



Алгоритм вычисления последовательности равномерно распределенных случайных чисел.

Исходные данные:

N - длина последовательности (количество испытаний).

IX - начальное значение, нечетное целое число с числом цифр <9.

Например: IX = 1234567.

Различные начальные значения параметра IX позволяют формировать различные последовательности равномерно распределенных псевдослучайных чисел.

Для генерирования равномерно распределенных случайных чисел на отрезке [0,1] используется отделение дробной части от сложного арифметического выражения, содержащего предшествующее число.

Vi+1 =FRAC(k Vi)

FRAC – оператор выделения дробной части,

Vi - предшествующее случайное число,

Vi+1 - последующее случайное число,

k-8t = 3,

t - нечетное целое число.

Задание различных начальных значений V0 позволяет формировать различные последовательности случайных чисел.

Количество случайных чисел в одном периоде от нескольких тысяч до сотен тысяч.

Для перевода равномерно распределенных случайных чисел из отрезка [0,1] в отрезок [а,b] можно использовать:

xi+1= a + (b-a)Vi+1.

  1. Имитация случайных величин и процессов

Базовый датчик

Моделирование случайных элементов в системах является одной из самых базовых задач математического моделирования. Любая случайная величина или процесс X может моделироваться следующим образом:



Базовый датчик выдает независимые равномерно распределенные случайные величины:

1) Непрерывные в (0,1).

2) Дискретные в .

Типы базовых датчиков:

1) физические (любой физический шум), они практически не используются, т.к. характеристики нестабильны и реализацию повторить нельзя;

2)псевдослучайные датчики строятся на основе детерминированного алгоритма, но полученные результаты неотличимы от случайных.

Псевдослучайные базовые датчики строятся по модели Xn+1=f(Xn) при заданном X0.

Требования к базовым датчикам:

1. Отрезок апериодичности.

2. Равномерность.

3. Некоррелированность.

Модели базовых датчиков

1. Мультипликативный конгруэнтный метод (метод вычетов)



– множитель, M – модуль, – стартовое значение.

Рекомендуемые значения для 64-разрядной сетки:

M = 2^63

=2^32+3


Тогда период T=M/4.

Для 32-разрядной:

M=2^31

=2^16+3


Тогда период T=M/4.

2. Линейные смешанные формулы.



p – порядок, стартовые значения: . Период 

Генерация случайных событий

1. Пусть имеется некоторое случайное событие А, наступающее с вероятностью р(А). Тогда – числа, генерируемые базовые датчики).

2. Полная группа попарно несовместимых событий A1, A2,…,Am.

Пусть p(Ai)=pi. Идея:





,где p0=0.


  1. Требования к базовому датчику. Проверка их соблюдения

1. Отрезок апериодичности

Периодом T и длиной отрезка апериодичности датчика называются наименьшие из величин, удовлетворяющие





Чем больше T и L, тем лучше датчик (особенно L). Как определить их:

1) Берем V – достаточно большое число (обычно )

2) Генерируем  и проверяем xV ,запоминая.

3) Генерируем  и проверяем  . Если нет для , то  и  . Иначе запоминаем i1, для которого  , и находим следующий i2 , для которого  (если нужно, генерируются дополнительные величины). Тогда 

4) Генерируем  и и ищем первое совпадение  . Тогда L=T+i

2. Равномерность

Должно быть p(x)=1 для 

Проверка:

1) Берем  и генерируем 

2) Находим  и разбиваем отрезок [0,1) на k равных частей (длиной 1/k )

3) Для каждого числа xiопределяем, в какой интервал оно попало:



и заполняем массив

 

4) По значениям этого массива строим гистограмму (для наглядности).

Используем критерий 

.

5) Выбираем уровень значимости  (обычно 5%), а число степеней свободы f=k-1 . В таблицах  находим значение и проверяем: если ,то «данные эксперимента не противоречат гипотезе о равномерности случайных чисел», иначе – «противоречат».

3. Некоррелированность

Генерируем 

Вычисляем

 , k=1,2,..10 (можно и больше).

Вычисляем

 

Проверяем для всех k



Если да, то «данные эксперимента не противоречат гипотезе о равномерности случайных чисел», иначе – «противоречат». Здесь – уровень значимости, а  берется из таблиц 


  1. Проверка равномерности распределения псевдослучайной последовательности по ее числовым характеристикам

Если мы моделируем на осн.сл.чисел,то обязаны гарантировать,что датчики обладают всеми необходимыми свойствами. Необходимо проверять не сам датчик,а ту последовательность,которая будет исследоваться.

Проверяем: 1.соотв-е получ.посл-ти заданному закону распр-я, 2.провести тесты на случайность отсутствия статистич.связи м\у последовательными n (n>=1) числами.

Это делается с исп-ем критериев случайности. Обычно случ.посл-ти проверяют при помощи неск.тестов,которые идут др.за др. Если послед-ть ведет себя удовл-но отно-но тестов t1, t2…tk, то нет никакой уверенности, что она выдержит tk+1, поэтому нужно исп-ть как можно больше тестов (не меньше 6). Проверка гипотезы по принадлежности равн.распр-ю с исп-ем статистич.моментов (оперативная проверка). Св-ва идеального равн.распр-ия: m=1/2,

. .возьмем произвольный интервал ?? и оценим долю чисел,попадающих в этот интервал. Она не должна существенно отличаться от длины этого интервала.


  1. Проверка равномерности распределения псевдослучайной последовательности по критериям согласия

Самый надежный метод проверки исп.критериев согласия.



1.критерий x2 Пирсона. (наглядный и маломощный). Достаточно мощный для большого количества наблюдений. N=3,3 lg n+1 правило Старджесса. Проверка попадания числа в i-й интервал. I-целая часть [N-?]+1. , . Причины отклонений:1.датчик работает неправильно,отклонение закономерно, 2.случайные причины,связанные с огр.кол-вом сл.чисел (их выборкой). Критерий согл-правило,которое должно позволить нам выявить (с заранее заданным уровнем доверия) явл-ся ли наблюдаемые отклонения случайными или они закономерны. В 1случае сл.гипотеза отв.как противоречащая опытным данным, во втором-гипотеза м.б принята и при данном объеме эксперимента датчик работает правильно. Сравниваем pi и pi*. . Взвешенная сумма квадратов x2 имеет изветный закон распределения из этого следует,что можно оценить как оно будет появл. [X2 и число степеней свободы(стрелки) входят в блок(таблица) и 1 выход(стрелка)]. Структура таблицы: р-доверительная вероятность. Сравниваем наше значение в таблице (ближайшее). Выход таблицы-р-доверие к результату. Больше 99% и меньше 1%-слишком хорошие или плохие результаты отбрасываются. От 99 до 99,5, 5-1 подозрительные рез-ты. 75-25-такие результаты могут иметь место в силу случаемых причин. В сонове любого критерия согл-я лежит след принцип практ-ой увер-ти – если вероятн некот события близки к нулю, то можно считать, что в единичном опыте это событие не происходит. Если вероятность некот.события близка к ед.то в пракическом опыте это событие наступает.










  1   2
Учебный текст
© perviydoc.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации