Линейные цепи однофазного синусоидального тока - файл n1.doc
Линейные цепи однофазного синусоидального токаДоступные файлы (3):
n1.doc
ВАРИАНТ 8 Задание № 2
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
В соответствии с заданным вариантом выберите одну из схем, приведенных на рис.2.1 - 2.26, с параметрами, указанными в табл.2.1. Считая, что индуктивная связь между катушками отсутствует, выполните для полученной схемы следующее:
1) определите токи во всех ветвях схемы;
2) постройте совмещенные векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений;
3) составьте баланс активных и реактивных мощностей;
4) постройте кривую мгновенных значений тока i
3 5) определите показание ваттметра.
Учитывая индуктивные связи между катушками, составьте в общем виде систему уравнений по законам Кирхгофа, необходимую для расчета токов ветвей, в дифференциальной и символической формах.
ЭДС источников определяется по формулам
где N - номер варианта;
к - меньший номер ветви, содержащей источник ЭДС. Частота=50 Гц для всех вариантов.
L1 , мГн | C1 , мкФ | R1 , Ом | L2 , мГн | C2 , мкФ | R2 , Ом | L3 , мГн | C3 , мкФ | R3 , Ом |
22 | 483 | 22 | 15 | 319 | 11 | 24 | 345 | 4 |
Дано:
R
1 = 22 Ом
L
1 = 22 мГн
R
2 = 11 Ом
L
2 = 15 мГн
С
2 = 319 мкФ
R
3 = 4 Ом
L
3 = 24 мГн
С
3 = 345 мкФ
f = 50 Гц
1 = 9,4∙8e
j(58+8∙10°) = 75,2e
j138°
2 = 15,6∙8e
j8∙25° = 124,8e
j200° Решение
1. Определение токов.1. Изображаем схему без учета магнитных связей. Выбираем и указываем на схеме направления токов. Ток в первой ветви выбираем такого направления, чтобы он втекал в клемму ваттметра, отмеченную звездочкой (точкой). Обозначаем узлы схемы и точки соединения элементов.
2. Определяем комплексные (символические) значения параметров элементов цепи.
Находим реактивные сопротивления индуктивностей и емкостей.
= 2f = 23,1450 = 314 рад/с
X
L1= ?L
1= 314∙22∙10
-3 = 6,9 Ом
X
L2= ?L
2= 314∙15∙10
-3 = 4,7 Ом
X
L3= ?L
3= 314∙24∙10
-3 = 7,5 Ом
X
C2=1/?C
2= 1/(314∙319∙10
-6) = 10 Ом
X
C3=1/?C
3= 1/(314∙345∙10
-6) = 9,2 Ом
Записываем комплексные сопротивления ветвей
Z
1 = 22 + j(6,9 - 0) = 22 + j6,9 = 23,06∙e
j17,4° Z
2 = 11 + j(4,7 - 10) = 11 - j5,3 = 12,21∙e
-j25,7° Z
3 = 4 + j(7,5 - 9,2) = 4 - j1,7 = 4,346∙e
-j23°3. Исследуемая цепь имеет только 2 узла, поэтому расчет токов удобно выполнить методом двух узлов (упрощенный вариант метода узловых потенциалов).
Находим комплекс узлового напряжения по формуле
1·

+
2·

ab =
(

+

+

)
Подставляем значения и вычисляем напряжение
(-55,88 + j50,32)/(22 + j6,9) + (-117,3 - j42,68)/(11 - j5,3)

ab = =
1/(22 + j6,9) + 1/(11 - j5,3) + 1/(4 - j1,7)
= (-8,795 - j4,511)/(0,3269 + j0,1126) = -28,3 - j4,054 = 28,59∙e
j188,2°Находим токи по формуле

= (±

±
ab)∙

= (
1-
ab)·

= (-55,88 + j50,32 + 28,3 + j4,054)/(22 + j6,9) =
= -0,4359 + j2,608 = 2,644∙e
j99,5° 
= (
2-
ab)·

= (-117,3 - j42,68 + 28,3 + j4,054)/(11 - j5,3) =
= -5,191 - j6,013 = 7,944∙e
j229,2° 
=
ab/Z
3 = (-28,3 - j4,054)/(4 - j1,7) = -5,627 - j3,405 = 6,577∙e
j211,2° Проверяем решение по закону Кирхгофа:

+

-

= -0,4359 + j2,608 - 5,191 - j6,013 + 5,627 + j3,405 = 0
2. Построение векторно-топографической диаграммы.1. Для построения топографической диаграммы определим потенциалы узлов и точек цепи. Условно заземлим точку "b" (
b= 0).
Находим потенциалы остальных точек
d =
b +
1 = 0 - 55,88 + j50,32 = -55,88 + j50,32 = 75,2∙e
j138°
c =
d -

∙R
1 = (-55,88 + j50,32) - ((-0,4359 + j2,608)∙22) =
= -46,29 - j7,061 = 46,83∙e
j188,7°
a =
c -

∙jX
L1 = (-46,29 - j7,061) - ((-0,4359 + j2,608)∙j6,9) =
= -28,3 - j4,054 = 28,59∙e
j188,2° Проверяем
a =
ab
k=
b+
2 = 0 - 117,3 - j42,68 = -117,3 - j42,68 = 124,8∙e
j200°
h =
k -

∙R
2 = -117,3 - j42,68 - (-5,191 - j6,013)∙11 =
= -60,17 + j23,46 = 64,58∙e
j158,7°
g =
h -

∙(-jX
C2) = (-60,17 + j23,46) - ((-5,191 - j6,013)∙(-j10)) =
= -0,0359 - j28,45 = 28,45∙e
j269,9° Проверяем
a =
g -

∙jX
L2 = (-0,0359 - j28,45) - ((-5,191 - j6,013)∙j4,7) =
= -28,3 - j4,054 = 28,59∙e
j188,2°
f =
b +

∙(-jX
C3) = 0 + ((-5,627 - j3,405)∙(-j9,2)) =
= -31,33 + j51,77 = 60,51∙e
j121,2°
e =
f +

∙R
3 = (-31,33 + j51,77) + ((-5,627 - j3,405)∙4) =
= -53,84 + j38,15 = 65,98∙e
j144,7° Проверяем
a =
e +

∙jX
L3 = (-53,84 + j38,15) + ((-5,627 - j3,405)∙j7,5) =
= -28,3 - j4,054 = 28,59∙e
j188,2°2. Строим топографическую диаграмму. По значениям потенциалов отмечаем на комплексной плоскости соответствующие точки и соединяем их отрезками прямых в соответствии с соединением элементов на схеме. Для каждой ветви выбираем свой цвет. На топографическую диаграмму в масштабе 5:1 накладываем векторную диаграмму токов.
3. Баланс мощности. 1. Определяем комплексную мощность источников. Для каждого источника

=

, где

- сопряженный комплекс тока, отличающийся от самого комплекса тока знаком при мнимой части (показателем с обратным знаком).

=

+

= (-55,88 + j50,32)∙(-0,4359 - j2,608) + (-117,3 - j42,68)∙(-5,191 =
= 155,6 + j123,8 + 865,5 - j483,6 = 1021 - j359,8 = 1083∙e
-j19,4° Из комплексной мощности выражаем
P = 1021 Вт
Q = -359,8 ВАр
S = 1083 ВА
Определяем активные и реактивные мощности отдельных элементов, учитывая, что I
n = |

|.
P
1 = I
12∙R
1 = 2,644
2∙22 = 153,8 Вт
P
2 = I
22∙R
2 = 7,944
2∙11 = 694,2 Вт
P
3 = I
32∙R
3 = 6,577
2∙4 = 173 Вт
Q
L1 = I
12∙X
L1 = 2,644
2∙6,9 = 48,2 ВАр
Q
L2 = I
22∙X
L2 = 7,944
2∙4,7 = 296,6 ВАр
Q
L3 = I
32∙X
L3 = 6,577
2∙7,5 = 324,5 ВАр
Q
C2 = I
22∙X
C2 = 7,944
2∙10 = 631,1 ВАр
Q
C3 = I
32∙X
C3 = 6,577
2∙9,2 = 398 ВАр
Проверяем баланс мощности
?P = P
1 + P
2 + P
3 = 153,8+694,2+173 = 1021 Вт
Q
L = Q
L1 + Q
L2 + Q
L3 = 48,2+296,6+324,5 = 669,3 ВАр
Q
C = Q
С2 + Q
C3 = 631,1+398 = 1029,1 ВАр
?Q = Q
L - Q
C = 669,3 – 1029,1 = -359,8 ВАр
Получили
?P = P
?Q = Q
Решение выполнено верно
4. Построение кривой тока. 1. От комплексного значения тока третьей ветви переходим к уравнению мгновенного значения.

= 6,577∙e
j211,2° i
3 = I
m3sin(?t + ?
3) = 6,577∙

∙sin(314t + 211,2) = 9,274∙sin(314t + 211,2)
2. По полученному уравнению строим график.
5. Определение показаний ваттметра. 1. Ваттметр подключен под напряжение U
bc и ток I
1.
bc =
b-
c = 0 – (-46,29 - j7,061) = 46,29 + j7,061 = 46,83∙e
j8,7°2. Из комплексных значений выражаем действующие значения и начальные фазы.
U
bc = 46,83 В
?
U = 8,7°
I
1 = 2,644 А
?
I = 99,5°
3. Находим угол сдвига фаз между током и напряжением и вычисляем показания ваттметра.
? = ?
U - ?
I = 8,7 - 99,5 = -90,8°
P = U
bc∙I
1∙cos? = 46,83∙2,644∙cos(-90,82°) = -1,763 Вт
6. Составление уравнений Кирхгофа. 1. Изображаем схему с учетом магнитных связей (начала катушек показаны точками).
2. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной форме для расчета токов во всех ветвях цепи.
i
1 + i
2 – i
3 = 0
i
1∙R
1+
L
1
– M
12
– M
13
+ L
3
– M
13
+ i
3∙R
3+
= е
1 i
2∙R
2+

+ L
2
– M
12
+ L
3
– M
13
+ i
3∙R
3+
= е
23. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа в символической форме для расчета токов во всех ветвях цепи.

+

–

= 0

∙(R
1+jX
L1) –

∙jX
M12 –

∙jX
M13 +

∙(jX
L3+R
3–jX
C3) –

∙jX
M13 =
1 
∙(R
2–jX
C2+jX
L2) –

∙jX
M12 +

∙(jX
L3+R
3–jX
C3) –

∙jX
M13 =
2где X
M = M