Линейные цепи однофазного синусоидального тока

Доступные файлы (3):

n1.doc	246kb.	24.03.2008 02:10	скачать
n2.bmp	147kb.	23.03.2008 12:46	скачать
⮪ 3.bmp	69kb.	23.03.2008 23:16	скачать

n1.doc

ВАРИАНТ 8

Задание № 2

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
В соответствии с заданным вариантом выберите одну из схем, приведенных на рис.2.1 - 2.26, с параметрами, указанными в табл.2.1. Считая, что индуктивная связь между катушками отсутствует, выполните для полученной схемы следующее:

1) определите токи во всех ветвях схемы;

2) постройте совмещенные векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений;

3) составьте баланс активных и реактивных мощностей;

4) постройте кривую мгновенных значений тока i₃

5) определите показание ваттметра.

Учитывая индуктивные связи между катушками, составьте в общем виде систему уравнений по законам Кирхгофа, необходимую для расчета токов ветвей, в дифференциальной и символической формах.

ЭДС источников определяется по формулам

где N - номер варианта;

к - меньший номер ветви, содержащей источник ЭДС. Частота=50 Гц для всех вариантов.

L₁ , мГн	C₁ , мкФ	R₁ , Ом	L₂ , мГн	C₂ , мкФ	R₂ , Ом	L₃ , мГн	C₃ , мкФ	R₃ , Ом
22	483	22	15	319	11	24	345	4

Дано:

R₁ = 22 Ом

L₁ = 22 мГн

R₂ = 11 Ом

L₂ = 15 мГн

С₂ = 319 мкФ

R₃ = 4 Ом

L₃ = 24 мГн

С₃ = 345 мкФ

f = 50 Гц

₁ = 9,4∙8e^j(58^^+8∙10^°⁾ = 75,2e^j¹³⁸^°

₂ = 15,6∙8e^j^8∙25^° = 124,8e^j²⁰⁰^°

Решение

1. Определение токов.
1. Изображаем схему без учета магнитных связей. Выбираем и указываем на схеме направления токов. Ток в первой ветви выбираем такого направления, чтобы он втекал в клемму ваттметра, отмеченную звездочкой (точкой). Обозначаем узлы схемы и точки соединения элементов.

2. Определяем комплексные (символические) значения параметров элементов цепи.

Находим реактивные сопротивления индуктивностей и емкостей.

 = 2f = 23,1450 = 314 рад/с

X_L₁= ?L₁= 314∙22∙10^-3 = 6,9 Ом

X_L₂= ?L₂= 314∙15∙10^-3 = 4,7 Ом

X_L₃= ?L₃= 314∙24∙10^-3 = 7,5 Ом

X_C₂=1/?C₂= 1/(314∙319∙10^-6) = 10 Ом

X_C₃=1/?C₃= 1/(314∙345∙10^-6) = 9,2 Ом

Записываем комплексные сопротивления ветвей

Z₁ = 22 + j(6,9 - 0) = 22 + j6,9 = 23,06∙e^j17,4°

Z₂ = 11 + j(4,7 - 10) = 11 - j5,3 = 12,21∙e^-j25,7°

Z₃ = 4 + j(7,5 - 9,2) = 4 - j1,7 = 4,346∙e^-j23°
3. Исследуемая цепь имеет только 2 узла, поэтому расчет токов удобно выполнить методом двух узлов (упрощенный вариант метода узловых потенциалов).

Находим комплекс узлового напряжения по формуле

₁·

₂·

_ab =

(

)
Подставляем значения и вычисляем напряжение
(-55,88 + j50,32)/(22 + j6,9) + (-117,3 - j42,68)/(11 - j5,3)

_ab = =

1/(22 + j6,9) + 1/(11 - j5,3) + 1/(4 - j1,7)
= (-8,795 - j4,511)/(0,3269 + j0,1126) = -28,3 - j4,054 = 28,59∙e^j188,2°
Находим токи по формуле

= (±

_ab)∙

= (

₁-

_ab)·

= (-55,88 + j50,32 + 28,3 + j4,054)/(22 + j6,9) =

= -0,4359 + j2,608 = 2,644∙e^j^99,5°

= (

₂-

_ab)·

= (-117,3 - j42,68 + 28,3 + j4,054)/(11 - j5,3) =

= -5,191 - j6,013 = 7,944∙e^j229,2°

_ab/Z₃ = (-28,3 - j4,054)/(4 - j1,7) = -5,627 - j3,405 = 6,577∙e^j211,2°
Проверяем решение по закону Кирхгофа:

= -0,4359 + j2,608 - 5,191 - j6,013 + 5,627 + j3,405 = 0

2. Построение векторно-топографической диаграммы.
1. Для построения топографической диаграммы определим потенциалы узлов и точек цепи. Условно заземлим точку "b" (

_b= 0).

Находим потенциалы остальных точек

_d =

_b +

₁ = 0 - 55,88 + j50,32 = -55,88 + j50,32 = 75,2∙e^j^138°

_c =

_d -

∙R₁ = (-55,88 + j50,32) - ((-0,4359 + j2,608)∙22) =

= -46,29 - j7,061 = 46,83∙e^j^188,7°

_a =

_c -

∙jX_L₁ = (-46,29 - j7,061) - ((-0,4359 + j2,608)∙j6,9) =

= -28,3 - j4,054 = 28,59∙e^j^188,2°

Проверяем

_a =

_ab

_k=

_b+

₂ = 0 - 117,3 - j42,68 = -117,3 - j42,68 = 124,8∙e^j^200°

_h =

_k -

∙R₂ = -117,3 - j42,68 - (-5,191 - j6,013)∙11 =

= -60,17 + j23,46 = 64,58∙e^j^158,7°

_g =

_h -

∙(-jX_C₂) = (-60,17 + j23,46) - ((-5,191 - j6,013)∙(-j10)) =

= -0,0359 - j28,45 = 28,45∙e^j^269,9°

Проверяем

_a =

_g -

∙jX_L₂ = (-0,0359 - j28,45) - ((-5,191 - j6,013)∙j4,7) =

= -28,3 - j4,054 = 28,59∙e^j^188,2°

_f =

_b +

∙(-jX_C₃) = 0 + ((-5,627 - j3,405)∙(-j9,2)) =

= -31,33 + j51,77 = 60,51∙e^j^121,2°

_e =

_f +

∙R₃ = (-31,33 + j51,77) + ((-5,627 - j3,405)∙4) =

= -53,84 + j38,15 = 65,98∙e^j^144,7°

Проверяем

_a =

_e +

∙jX_L₃ = (-53,84 + j38,15) + ((-5,627 - j3,405)∙j7,5) =

= -28,3 - j4,054 = 28,59∙e^j^188,2°

2. Строим топографическую диаграмму. По значениям потенциалов отмечаем на комплексной плоскости соответствующие точки и соединяем их отрезками прямых в соответствии с соединением элементов на схеме. Для каждой ветви выбираем свой цвет. На топографическую диаграмму в масштабе 5:1 накладываем векторную диаграмму токов.

3. Баланс мощности.

1. Определяем комплексную мощность источников. Для каждого источника

, где

- сопряженный комплекс тока, отличающийся от самого комплекса тока знаком при мнимой части (показателем с обратным знаком).

= (-55,88 + j50,32)∙(-0,4359 - j2,608) + (-117,3 - j42,68)∙(-5,191 =

= 155,6 + j123,8 + 865,5 - j483,6 = 1021 - j359,8 = 1083∙e^-j19,4°

Из комплексной мощности выражаем

P = 1021 Вт

Q = -359,8 ВАр

S = 1083 ВА
Определяем активные и реактивные мощности отдельных элементов, учитывая, что I_n = |

|.

P₁ = I₁²∙R₁ = 2,644²∙22 = 153,8 Вт

P₂ = I₂²∙R₂ = 7,944²∙11 = 694,2 Вт

P₃ = I₃²∙R₃ = 6,577²∙4 = 173 Вт

Q_L1 = I₁²∙X_L1 = 2,644²∙6,9 = 48,2 ВАр

Q_L2 = I₂²∙X_L2 = 7,944²∙4,7 = 296,6 ВАр

Q_L3 = I₃²∙X_L3 = 6,577²∙7,5 = 324,5 ВАр

Q_C2 = I₂²∙X_C2 = 7,944²∙10 = 631,1 ВАр

Q_C3 = I₃²∙X_C3 = 6,577²∙9,2 = 398 ВАр
Проверяем баланс мощности

?P = P₁+ P₂+ P₃ = 153,8+694,2+173 = 1021 Вт

Q_L = Q_L1+ Q_L₂+ Q_L₃= 48,2+296,6+324,5 = 669,3 ВАр

Q_C = Q_С2+ Q_C3 = 631,1+398 = 1029,1 ВАр

?Q = Q_L - Q_C = 669,3 – 1029,1 = -359,8 ВАр
Получили

?P = P

?Q = Q

Решение выполнено верно

4. Построение кривой тока.

1. От комплексного значения тока третьей ветви переходим к уравнению мгновенного значения.

= 6,577∙e^j211,2°

i₃ = I_m3sin(?t + ?₃) = 6,577∙

∙sin(314t + 211,2) = 9,274∙sin(314t + 211,2)
2. По полученному уравнению строим график.

5. Определение показаний ваттметра.

1. Ваттметр подключен под напряжение U_bc и ток I₁.

_bc =

_b-

_c = 0 – (-46,29 - j7,061) = 46,29 + j7,061 = 46,83∙e^j8,7°
2. Из комплексных значений выражаем действующие значения и начальные фазы.

U_bc = 46,83 В

?_U = 8,7°

I₁ = 2,644 А

?_I = 99,5°
3. Находим угол сдвига фаз между током и напряжением и вычисляем показания ваттметра.

? = ?_U - ?_I = 8,7 - 99,5 = -90,8°

P = U_bc∙I₁∙cos? = 46,83∙2,644∙cos(-90,82°) = -1,763 Вт

6. Составление уравнений Кирхгофа.

1. Изображаем схему с учетом магнитных связей (начала катушек показаны точками).