Математический анализ - файл n1.doc

Математический анализ
Скачать все файлы (93.1 kb.)

Доступные файлы (1):
n1.doc244kb.10.02.2010 23:18скачать

n1.doc

Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов


Контрольная работа №1

по предмету Математический анализ

Выполнил:

Группа:

Проверил: ___________________


Новосибирск, 2006
Вариант.10

Задача 1. Найти пределы функций:
а) ; б) ; в) .

Решение:

а)

Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на x2 (наивысшая здесь степень x),
, подставляем , из теоремы о связи бесконечно малой и бесконечно большой величины следует , получаем


б) Преобразуем к виду ,
используя первый замечательный предел и основные соотношения тригонометрических функций, получаем

Ответ:


в) записываем в виде дроби
, делим на x верхнюю и нижнюю части

, находим производную основных элементарных функций, получаем


, делим на x2 верхнюю и нижнюю части дроби, получаем
, подставляем , из теоремы о связи бесконечно малой и бесконечно большой величины следует , поэтому получим

;
Ответ:


Задача 2. Найти значение производных данных функций в точке x=0:



функция сложная, решать будем по формуле (g(f(x)))’=g’(f(x)*f’(x)


используя основные соотношения тригонометрических функций и

формулы приведения , получим

, подставим , получим


Ответ:
Значение производной функции у в точке x=0 равно 0.


Задача 3. Провести исследование функции с указанием

а) области определения и точек разрыва;

б) экстремумов;

с) асимптот.

По полученным данным построить графики функций.

Решение:
а) Найдем область определения и точки разрыва.

Дана функция ,

где ;

Функция нечетная.

Область определения функции лежит

- точка разрыва функции второго рода, т.к.

б) Найдем точки экстремумов функции.

Необходимый признак экстремума, если x0 -точка экстремума.



; т.к. производная функции в точке экстремума равна нулю (y=0) , то , отсюда следует, что

; ;

точки экстремумов функции





Выпуклость и вогнутость функции.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью верх (выпукла), а если положительна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз (вогнута).

Найдем вторую производную функции

;

;

,

, т.к. , точки перегиба нет.

Подставим значения экстремумов в производную функции второго поряда, получим при x=0, у’’ = -2 , значит функция в точке выпукла, при x=2, y”=2, значит функция в точке вогнута.



с) Найдем асимптоты функции
вертикальная асимптота проходит через точку разрыва и


Найдем наклонную асимптоту


Наклонная асимптота
Построим графики функции, проведем асимптоты и покажем точки экстремумов функции


Задача 4. Найти неопределенные интегралы:
a) б)

Решение:

a) ; введем переменную , тогда

, сделаем замену

; произведем обратную подстановку и получим

ответ:
б) При решении используем метод интегрирования по частям ;

обозначим ; тогда , , тогда
;

Ответ:

Задача 5. Вычислить площади областей, заключённых между линиями: y=x-2; y=3x-x2-2.

Найдем точки пересечения графиков данных функций.

Для этого приравняем функции и решим уравнение:

; ; ;

;

Точки пересечения A(0;-2); B(2; 0).



Площадь фигуры найдем, используя формулу:

;



Ответ: площадь фигуры кв.ед.
Учебный текст
© perviydoc.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации