Букеєв Б.О. Дослідження точності апроксимації залежності магнітного моменту Землі від широти методом статистичних випробувань Монте Карло - файл n1.doc

Букеєв Б.О. Дослідження точності апроксимації залежності магнітного моменту Землі від широти методом статистичних випробувань Монте Карло
Скачать все файлы (687.5 kb.)

Доступные файлы (1):
n1.doc688kb.04.02.2014 19:00скачать

n1.doc

  1   2   3


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІЖНАРОДНИЙ ЕКОНОМІКО-ГУМАНІТАРНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ ім. акад. С. ДЕМ’ЯНЧУКА

Букеєв Б. О.

Дослідження точності апроксимації залежності магнітного моменту Землі від широти методом статистичних випробувань

МОНТЕ КАРЛО

Модель ПГБ-61 № 3


Науковий керівник:

Літнарович Р. М., доцент,

кандидат технічних наук
Рівне 2006

УДК 629.123.053.12
Букеєв Б. О. Дослідження точності апроксимації залежності магнітного моменту Землі від широти методом статистичних випробувань Монте Карло.

МЕГУ, Рівне, 2006,– 28 с.

Рецензент: В. Г. Бурачек, доктор технічних наук, професор.

Відповідальний за випуск: Й. В. Джунь, доктор фізико-математичних наук, професор.

Встановлюється функціональна залежність магнітного моменту планети Земля від геомагнітної широти. Дається вивід формули у вигляді поліному третього порядку.

Математична модель будується на основі способу найменших квадратів.

Проводиться дослідження точності зрівноважених елементів методом статистичних випробувань Монте Карло.

Для студентів і аспірантів напрямку наук про Землю.


Букеєв Б. О.
©

ЗМІСТ
Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Представлення геомагнітного моменту поля Землі . . 4
2. Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі методом статистичних випробувань Монте Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Представлення системи нормальних рівнянь . . . . . 15
4. Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь . . . . 15
5. Рішення нормальних рівнянь способом Крамера . . . . 18
6. Контроль зрівноваження . . . . . . . . . . . . . 21
7. Оцінка точності параметрів, отриманих із системи

нормальних рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Висновки . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Література . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Передмова
Безумовний науковий і практичний інтерес представляє дослідження геомагнітного поля Землі.

Вивченню природи геомагнітного поля і в наш час приділяється велика увага. Вчені намагаються отримати відповіді на запитання: коли і як зародилося магнітне поле земної кулі? Чому воно існує мільярди років? Як це поле буде змінюватись в майбутньому?

В даній роботі ми зробимо спробу виразити один із основних компонентів геомагнітного поля Землі магнітний момент планети графічно і встановити функціональну залежність магнітного моменту від широти.

Нами підбирається емпірична формула у вигляді поліному третього порядку. Математична модель будується на основі способу найменших квадратів. Побудована ймовірніша модель приймається як істинна модель, на основі якої проводяться дослідження точності методом статистичних випробувань Монте Карло. Генеруються псевдо випадкові числа, які приймаються як істинні похибки, якими спотворюється істинна модель.

В подальшому методом найменших квадратів урівноважується спотворена модель і робиться оцінка точності врівноважених елементів. Значення істинних похибок дає можливість зробити порівняльний аналіз. Набирається велика статистика шляхом побудови і дослідження великої кількості моделей.

Розроблена методика дозволить зробити попередній розрахунок точності при проектуванні майбутніх геомагнітних досліджень в будь-якій точці планети Земля.
1. Представлення геомагнітного моменту поля Землі.
Магнітний момент – це векторна величина, яка

характеризує земну кулю як джерело магнітного поля. Макроскопічні магнітні моменти створюють замкнуті електричні струми і впорядковано орієнтовані магнітні моменти атомних частинок.

Розрахуємо магнітний момент М Землі на екваторі при

?маг. екв.=0.

При цьому спочатку розглянемо елементи земного магнетизму.

z x Пн. геогр. Bx

А ? Вн В

0 Схід У

j

Вт

Bz С

Е D

Проекції ВZ і BH індукції дипольного поля, або поля однорідного намагнічування Землі, можна знайти за

допомогою формул.

Вертикальна складова геомагнітного поля Землі

ВZ = ?0 sin ?м ( 1.1 );

горизонтальна складова

BH = ?0 cos ?м ( 1.2 )

де ?0 – магнітна стала;

М – магнітний момент земної кулі;

R – радіус Землі;

?м – геомагнітна широта, яка відраховується від геомагнітного екватора

Із приведених формул легко знайти модуль вектора індукції поля однорідного намагнічування Земної кулі:

( 1.3 ).

Підставляючи ( 1.1 ), ( 1.2 ) в ( 1.3 ), будемо мати:



= ;

або:
= .
Приймаючи до уваги, що , а

;
= ( 1.4 ).
Знайдемо магнітний момент М із формули ( 1.4 )
М = ( 1.5 ).

Напруженість магнітного поля на магнітному екваторі

Некв.= 0,34 ерстеда [ 3,– с. 163 ].

Для переходу із системи СГСМ у систему СІ складемо слідуючу пропорцію

Напруженості 1 відповідає ,

Некв. дорівнює 0,34 ,

звідки

Некв.=.
В загальному випадку напруженість магнітного поля Землі можна розрахувати за формулою
Н= = ( 1.6 ).
Тоді, загальна формула розрахунку магнітного моменту Землі буде
. ( 1.7 )

Для полюса Нпол.= 0,66 ерстед.

Тоді, при переході до системи СІ

відповідає 4,

Нпол. дорівнює 0,66 е,

звідки
Нпол.== 52,52113122.

Магнітний момент Землі біля полюсів

М=
Взявши радіус земної кулі R=6371000м, а 4=3,249620751 м3, магнітний момент земної кулі на екваторі буде

Мекв.=

Розрахуємо магнітний момент земної кулі на полюсі

Мпол.=
Розрахуємо магнітний момент Землі на широті 450, прийнявши середнє значення напруженості

Н450 =

Тоді

1 відповідає 4

Н дорівнює 0,5 е.

Звідки

Н=

Таким чином, напруженість магнітного поля Н буде

Н=
Н=8,177542602

Знайдемо середню напруженість магнітного поля Землі для широти 22,5
Н==0,42 е ,

для =67,5

Н=

для 22,5

1 відповідає 4
Н дорівнює 0,42 е

звідки

Н=,

І по аналогії

Н= ам.
Магнітні моменти будуть відповідно
М=
М= ам

Результати залежності геомагнітного моменту Землі від широти точки спостереження зведено в табл. 1.

Таблиця 1. Залежність геомагнітного моменту Землі від широти точки спостереження



= X



1

0,00

8,79

2

11,25

8,9

3

22,5

9,05

4

33,75

8,5

5

45

8,18

6

56,25

8

7

67,5

7,95

8

78,75

8,12

9

90

8,53

n=9




=76,02



Згідно формули ( 1,7 ) магнітний момент залежить від напруженості магнітного поля і широти точки спостереження, тобто є функцією двох незалежних змінних, хоча в свою чергу напруженість геомагнітного поля також залежить від широти.

На жаль, у нас немає формули залежності напруженості магнітного поля від широти, що не потребувало б знання магнітного момента і навпаки.
Тому безперечний інтерес представляє встановлення функціональної залежності магнітного момента, як головного компонента для визначення складових геомагнітного поля Землі, від геомагнітної широти.


* В подальшому для спрощення викладок множник 10 писати не будемо, але його слід мати на увазі, особливо при оцінці точності результатів.
Рис. 1. Графік залежності магнітного моменту земної кулі від геомагнітної широти


У 9,0 - .

8,9 -

8,8 -

8,7 -

8,6 -

8,5 -

8,4 -

8,3 -

8,2 -

8,1 -

8,0 - .

7,9 - .

0 + + + + + + + +

11,25 22,5 33,75 45 56,25 67,5 78,75 90
Маючи вузлові точки значень геомагнітного моменту Землі в магнітних широтах 0, 22,5, 45, 67,5і 90 побудуємо точкову діаграму і графік, представлений на рис. 1.

Із цього графіка видно, що екстремум функції буде на широті 22,5 і 67,5. Як видно із графіка, кращою функцією для апроксимації буде кубічний поліном, тобто будемо шукати функціональну залежність у вигляді функції виду

у = ах+ bх+ сх + d ( 1.8 )

Невідомі коефіцієнти a, b, c, d визначимо по способу найменших квадратів.

Проміжні точки в 11,25, 33,75, 56,25 і 78,75 визначимо безпосередньо із графіка. Цього нам буде цілком достатньо для побудови ймовірнішої моделі. Побудовану таким чином ймовірнішу модель залежності магнітного моменту земної кулі від широти в подальшому приймемо за істинну модель і генеруючи істинні похибки

будемо створювати спотворені моделі, на яких можна дослідити точність визначення магнітного моменту в залежності від похибки визначення широти.
2. Генерування істинних похибок для дослідження

математичної моделі методом статистичних випробувань МОНТЕ КАРЛО.
Побудувавши ймовірнішу модель по способу найменших квадратів, приймаємо її за істинну модель, адже у неї задовольняються всі умовні рівняння з одного боку, і встановлений функціональний зв'язок між параметрами Х і У – з другого.

В залежності від мети досліджень задаємося нормативним значенням середньої квадратичної похибки визначення геомагнітної широти Х= генеруємо випадкові числа, які б в цілому відповідали нормативній точності і спотворюємо істинну модель цими похибками.

Зрівноваживши спотворену модель, отримуємо математичну модель, робимо оцінку точності елементів зрівноваженої моделі і встановлюємо відповідність похибок визначення широти і похибок визначення магнітного моменту земної кулі.

Непарні моделі генерують середню квадратичну похибку , а парні – .

Сучасні канкулятори мають « вшиті » генератори для генерування випадкових чисел від 0 до 1. Але вони генерують числа тільки зі знаком « плюс ». Приведемо методику розрахунку випадкових чисел, які приймемо в подальшому за істинні похибки для побудови спотвореної моделі.

1. Отримавши ряд випадкових ( а точніше псевдо випадкових ) чисел , натиском клавіші RND, розраховують середнє арифметичне генерованих псевдо випадкових чисел

= , ( 2.1 )

де n – число випадкових чисел.

2. Розраховують попередні значення істинних похибок за формулою

=- ( 2.2 )

3. Знаходять середню квадратичну похибку попередніх значень істинних похибок за формулою

( 2.3 )

4. Визначають коефіцієнт пропорційності К для визначення істинних похибок необхідної точності

, ( 2.4 )

де С – необхідна нормативна константа.

Так, наприклад, при із необхідності побудови математичної моделі з точністю С=0,1, будемо мати

,

а при С=0,05 , отримаємо

.

5. Істинні похибки розраховуються за формулою

( 2.5 )

6. Заключним контролем служить розрахунок середньої квадратичної похибки генерованих істинних похибок

( 2.6 )

і порівняння = С. ( 2.7 )
Таблиця 2. Генерування псевдо випадкових чисел і розрахунок істинних похибок.
















1

0,84

0,663

0,177

0,031329

0,06368

0,00406

2

0,82

0,663

0,157

0,024649

0,05649

0,00319

3

0,1

0,663

-0,563

0,316969

-0,20257

0,04103

4

0,56

0,663

-0,103

0,010609

-0,03706

0,00137

5

1

0,663

0,337

0,113569

0,12125

0,0147

6

0,99

0,663

0,327

0,106929

0,11765

0,01384

7

0,85

0,663

0,187

0,034969

0,06728

0,00453

8

0,66

0,663

-0,003

0,000009

-0,00108

0,000001

9

0,41

0,663

-0,253

0,064009

-0,09103

0,00829

10

0,4

0,663

-0,263

0,069169

-0,09463

0,00895

n=10

6,63

6,63



0,77221



0,09996



Середня квадратична похибка попередніх істинних похибок
=

Коефіцієнт пропорційності


Середня квадратична похибка при генеруванні випадкових чисел з точністю С = 0,1



Таблиця 3. Побудова спотвореної моделі



Х

У



Х

1

0,00

8,803

0,06368

0,06368

2

11,25

8,957

0,05649

11,30649

3

22,5

8,851

-0,20257

22,29743

4

33,75

8,598

-0,03706

33,71294

5

45

8,274

0,12125

45,12125

6

56,25

8,011

0,11765

56,36765

7

67,5

7,904

0,06728

67,56728

8

78,75

8,057

-0,00108

78,74892

9

84,375

8,264

-0,09103

84,28397

10

90

8,575

-0,09463

89,90537

n=10

489,375

84,294



489,375

Контролем розрахунку Х служить рівність



В нашому випадку 489,375 + 0 = 489,375.
  1   2   3
Учебный текст
© perviydoc.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации