Пугачёв В.И. Теория автоматического управления (Конспект лекций). Часть 3. Методы оптимизации систем управления - файл n1.doc

Пугачёв В.И. Теория автоматического управления (Конспект лекций). Часть 3. Методы оптимизации систем управления
Скачать все файлы (2694.5 kb.)

Доступные файлы (1):
n1.doc2695kb.11.01.2014 00:26скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5



Министерство образования Российской Федерации

Кубанский государственный технологический университет


Кафедра автоматизации производственных процессов


Пугачев В.И.
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Конспект лекций


по курсу "Теория автоматического управления" для студентов дневной и заочной формы обучения специальности 220201 - Управление и информатика в технических системах

Часть 3

Краснодар 2004
Составитель: канд. техн. наук, профессор В.И.Пугачев

УДК 62-50.007 07

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГ УПРАВЛЕНИЯ, Часть 3 (В трёх частях)


Приведены основные сведения по методам оптимизации, используемым при автоматизации производственных процессов. Предназначены для студентов дневной и заочной формы обучения специальности 21.0100 - Управление и информатика в технических системах. / Сост. В. И. Пугачев ; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. автоматизации производственных процессов. Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2004.-94 с.

Рассмотрены основные понятия и определения, используемые в теории статической и динамической оптимизации систем управления, методы оптимизации, их особенности и область применения.

Табл. Ил.5 Библиогр: 7 назв.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета


Рецензенты: канд. техн. наук, зав. лабораторией автоматизации Красс нодарского филиала " В Н И И З " Ю.Ф. Марков

канд. техн. наук, профессор КубГТУ З. Г. Насибов

Содержание
1 Общие понятия и основные этапы решения

задач оптимизации 4

  1. Постановка и классификация детерминированных задач

оптимизации 8

3 Многокритериальные задачи оптимизации и

методы их решения 17

4 Одномерная оптимизация 29

5 Многомерная оптимизация 39

6 Характеристика методов решения задач

оптимизации 44

7 Вариационные методы оптимизации 53

8 Динамическое программирование 66

9 Метод множителей Лагранжа 74

10 Принцип максимума Понтрягина 85

11 Линейное программирование 95

12 Литература 104

1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
Любая система управления выполняет определенную функцию. Оценку достижимости цели в процессе управления, представленную в формализованном виде (аналитической форме), принято называть критерием оптимальности или целевой функцией. Для разработки систем с наилучшим качеством достижения цели применяют принцип оптимальности. Возможны два типа задач синтеза оптимальных систем (ОС):

— оптимизация параметров при заданной структуре;

— синтез структуры и параметров, как правило, управляющего устройства, при заданном объекте.

Переменные выхода, управления, входных и возмущающих воздействий в общем случае могут быть как скалярными, так и векторными величинами. Оптимальные управления объектом и их реализацию осуществляют для двух основных случаев:

— в разомкнутой системе;

— в замкнутой системе.

Решение задачи оптимизации начинается с составления математической модели системы, после чего устанавливают ограничения на координаты системы и выявляют характеристики сигналов внешних воздействий. После этого составляют математическое выражение заданного критерия качества. В результате решения задачи находят функцию управления из условий минимума или максимума показателя качества.

В случаях стационарных объектов без внешних возмущений можно ограничиться таким алгоритмом оптималь-

ного управления, который определяет неизменную настройку управляющего устройства.

В нестационарных объектах нет полной информации об их свойствах и в этом случае применяют принцип адаптации, который создает эффект приспособления благодаря тому, что часть функций по получению, обработке и анализу информации об управляемом процессе осуществляется самой системой в режиме нормальной эксплуатации с помощью адаптивного управляющего устройства (АУУ).

Оптимизацию сложных систем с помощью адаптивных управляющих устройств называют автоматической оптимизацией.

АСУП можно рассматривать как четырехуровневую иерархическую систему со следующими функциями: оптимальное планирование, оперативное управление, оптимизация процессов, оптимизация режимов установки.

На первых двух уровнях решаются административно-хозяйственные задачи, которые по своей сути являются статическими задачами оптимизации. На третьем уровне решается многомерная задача, относящаяся к классу больших систем, поскольку совокупность агрегатов имеет большое число переменных, а критерий оптимальности носит экономический характер. На нижнем уровне решаются задачи динамической оптимизации. Таким образом, системы управления различных иерархических уровней имеют свою цель, задаваемую извне системой более высокого ранга.

Анализируя вышесказанное, кратко можно классифицировать оптимальные системы следующим образом (рисунок 1).

Применение методов оптимизации — это лишь частная задача решения проблем оптимизации. В общем подобное решение состоит из следующих этапов:

1) постановка задачи оптимизации;

2) разработка математической модели объекта оптимизации;

3) формализация целевой функции (критерия оптимальности);

4) выбор метода оптимизации и аналитическое решение;


Рисунок 1- Классификация оптимальных систем управления
5) подготовка численных алгоритмов;

6) численное решение задачи оптимизации;

7) обсуждение результатов, выводы;

8) практическая реализация результатов.

Если аналитические решения возможны, то необходимость в этапах 5 и 6 отпадает.

Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования. Она не менее важна, чем само решение. Поэтому вполне очевидна справедливость утверждения, что «правильно поставить задачу — это уже наполовину её решить». Искусство постановки задач основывается на чётком представлении преимуществ, недостатков и особенностей различных методов теории оптимизации.

На этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно произвести анализ вариантов в целях выявления наилучших условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономические (приведённые затраты, удельная стоимость, прибыль, рентабельность и т.п.), технические (надежность, точность, быстродействие и т.п.) и технологические (качество продукции, выход продукции на единицу затраченного сырья и т.п.). Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, наилучшему варианту соответствует максимальное или минимальное значение показателя качества функционирования системы.

Важно отметить, что постановка задачи оптимизации одновременно по нескольким критериям некорректна, только один критерий может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум производительности, минимум потребляемой энергии и т.д. В то же время существуют методы регуляризации и решения задач оптимизации в подобной постановке. Некоторые из них, наиболее эффективные, приведены в настоящем учебном пособии.

На следующем этапе решения задачи необходимо построить модель, которая описывает взаимосвязь между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой критерием оптимальности. При построении модели очень важно ввести все основные независимые переменные, но не менее важно не перегружать и задачу большим количеством несущественных факторов. При выборе независимых переменных следует рассматривать только те переменные, которые оказывают существенное влияние на критерий, выбранный для анализа сложной системы.

Математические модели, встречающиеся в технике, можно в основном разделить на семь альтернативных групп:

— статические - динамические;

— линейные - нелинейные;

— непрерывные - дискретные;

— одномерные - многомерные;

— детерминированные - стохастические;

— с сосредоточенными параметрами - с распределёнными параметрами;

— с неограниченными переменными - с ограниченными переменными.

Возможны и любые комбинации этих групп.

В любом случае модель представляет собой некоторый набор уравнений и неравенств, которые определяют взаимосвязь между переменными системы и ограничивают область допустимых изменений переменных. Таким образом, элементы модели содержат дополнительную информацию для выполнения оптимизационных исследований. Очевидно, что процесс построения модели является весьма трудоёмким и требует чёткого понимания специфических особенностей оптимизируемого объекта.
2 ПОСТАНОВКА И КЛАССИФИКАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
Прикладные задачи оптимизации могут относиться к совершенно разным областям инженерной практики и представлять различные объекты. Несмотря на это, они имеют общую структуру. Все эти задачи можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) вещественнозначной функции n-мерного векторного аргумента .

Под решением задачи понимают процесс выбора управляемых переменных , принадлежащих допустимой области и обеспечивающих оптимальное значение некоторой характеристики объекта . Эта характеристика, показывающая предпочтение одного варианта решения по отношению к другим, называется критерием оптимальности (функцией цели, критерием эффективности, функцией полезности и т.п.).

Экстремальное значение критерия оптимальности численным образом характеризуют наиболее важное свойство объекта. В процессе оптимизации необходимо получить либо максимум, либо минимум критерия . Пусть для определённости требуется, чтобы критерий оптимальности был максимален. Это не нарушает общности рассмотрения, так как минимизация функции сводится к максимизации функции - .

Численные значения составляющих вектора в практических задачах должна удовлетворять требованиям, предъявляемым исследуемому объекту. Эти требования весьма разнообразны и определяются многими факторами, наиболее важными из которых являются:

условия физической реализуемости;

условия эксплуатации, гарантирующие надёжную и экономичную работу объекта;

технические задания на характеристики и параметры проектируемого объекта и т.д.

При математической формулировке задач оптимизации удовлетворение этих требований сводится к выполнению системы ограничений, накладываемых на управляемые переменные и на характеристику . Несмотря на разный физический смысл требований, ограничения на переменные и характеристики можно записать в виде систем уравнений и неравенств.

С учётом изложенного выше сформулируем общую постановку задачи оптимизации: найдём вектор , обеспечивающий максимальное значение критерия оптимальности

; (1)

при выполнении системы ограничений

; (2)

; (3)

. (4)

Ограничения в виде равенств (2), к которым в частности относятся уравнения модели объекта, уменьшают пространство варьируемых переменных . Число таких ограничений, как правило, меньше числа переменных . Ограничения в виде неравенств (3), (4) выделяют допустимую область решений в пространстве переменных . Их число может быть любое . Если ограничения имеют вид строгого неравенства (> или <), то допустимая область не содержит своей границы и называется открытой. Если же ограничение нестрогое, то область содержит свою границу и называется замкнутой.

Методы и алгоритмы оптимизации предполагают, что все фигурирующие в задаче функции являются вещественнозначными, а число ограничений конечно.

Задача (1)-(4) называется задачей оптимизации с ограничениями или задачей условной оптимизации. Задача, в которой нет ограничений, т.е.

;



называется задачей безусловной оптимизации.

Задачи оптимизации можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью вектора .

Задачи, в которых представляет собой одномерный вектор , называются задачами одномерной оптимизации. Здесь осуществляется поиск оптимума произвольной функции одной переменной. Эти задачи составляют простейший, но весьма важный подкласс оптимизационных задач. Если число варьируемых переменных больше единицы , то такие задачи являются задачами многомерной оптимизации, связанными с оптимизацией некоторой n-мерной гиперповерхности .

Задачи условной оптимизации, в которых функции и являются линейными, носят название задач с линейными ограничениями. В таких задачах целевые функции могут быть либо линейными, либо нелинейными. Задачи с линейной целевой функцией и линейными ограничениями и являются задачами линейного программирования (ЗЛП). Общая постановка ЗЛП:

(5)

при условии

; (6)

; (7)

. (8)

В задачах целочисленного линейного программирования переменные должны принимать только целые значения.

Если целевая функция - квадратичная функция, а ограничения и - линейные функции, то задача (1)-(4) является задачей квадратичного программирования. В тех случаях, когда критерий оптимальности или ограничения и представляют собой нелинейные функции переменных , задача (1)-(4) является задачей нелинейного программирования.

Оптимальное решение в зависимости от вида целевой функции может быть точкой либо локального (относительного), либо глобального (абсолютного) оптимума. Целевая функция в точке имеет локальный минимум, если для всех точек , принадлежащих -окрестности этой точки, выполняется условие

(9)

для всех .

Если условие (9) выполняется для всех допустимой области , то целевая функция в точке имеет глобальный минимум. Таким образом, глобальный минимум определяется как наименьший из всех локальных. Вектор в этом случае является оптимальным решением, а глобальный минимум - оптимальным значением целевой функции .

Аналогичные определения локального и глобального максимума можно получить путём замены знака неравенства в условии (9) на противоположный. Следует также отметить, что глобальный максимум (минимум) может достигаться на границе допустимой области .

Методы решения оптимизационных задач по существу основываются на различных предположениях и допущениях относительно природы и свойства функции цели .

Простейшими из нелинейных функций являются выпуклые функции. Геометрически это означает, что функция расположена выше любой прямой, соединяющей любые две точки на её поверхности. Функция является вогнутой (выпуклой вниз), если эта же функция, взятая с обратным знаком, является выпуклой. Таким образом, любая секущая пересекает выпуклую функцию не более чем в двух точках. Условие выпуклости может быть сформулировано следующим образом: функция является выпуклой, если для точки x, лежащей между двумя точками и , т.е. при

(10)

выполняется неравенство

. 11)

При замене знака неравенства в (11) на противоположный получим условие вогнутости функции . В тех случаях, когда критерий оптимальности является выпуклой вверх или вниз функцией, а область допустимых решений - выпуклым множеством, задача оптимизации является задачей выпуклого программирования. Выпуклость функций в ограничениях (3) гарантируют выпуклость области . Существенной особенностью задач выпуклого программирования является совпадение точек локального и глобального экстремумов. Следовательно, при решении задач выпуклого программирования можно довольствоваться отысканием локального экстремума.

При решении задач оптимизации наиболее ценным является сведение об унимодальности функции качества. Унимодальной называется функция, имеющая один локальный экстремум в области , который будет в этом случае глобальным (рисунок 2).



Рисунок 2 - Примеры унимодальных функций

Математически для минимизируемой функции унимодальность требует выполнения неравенств:

, (12)

где , - два произвольно выбранных состояния;

- положение локального (в данном случае и глобального) минимума.

Геометрически условие (12) означает, что для любых точек существует строго падающий путь на поверхности , ведущий от к , т.е. справа и слева от минимума унимодальная функция только возрастает. Выпуклая функция является частным случаем унимодальной функции, но не всякая унимодальная функция выпуклая (рисунок 2,б).

Унимодальность функции качества (большое число объектов имеет именно унимодальную характеристику) позволяет построить эффективные методы поиска экстремума.

Если функция является монотонной в ограниченной области , то оптимальное решение находится на границе этой области.

Функции, имеющие несколько локальных экстремумов, являются многоэкстремальными функциями.

В задачах нелинейного программирования тип оптимального решения (является ли локальным или глобальным минимумом) зависит не только от вида функции , но и от того, является ли допустимая область варьируемых переменных выпуклым множеством.



Для выпуклой функции и выпуклого множества локальный минимум является в то же время и глобальным. Для невыпуклой области D даже при выпуклой функции задача нелинейного программирования может оказаться многоэкстремальной, т.е. иметь несколько локальных минимумов. Например, линейная функция , определённая на невыпуклом множестве , имеет локальные (А,В) и глобальный (С) минимумы, локальный (Е) и глобальный(Д) максимумы, ( рису-

нок 3).

В задачах оптимизации функция цели не обязательно должна быть непрерывной, она может быть дискретной или разрывной функцией. Очевидно, что в зависимости от свойства функции для реализации процедуры поиска точек её оптимума следует использовать различные методы. Метод эффективный при анализе непрерывных функций может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается.

Предварительное исследование свойств целевой функции и области и деление оптимизационных задач на соответствующие классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения.

3 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Выше рассматривались задачи оптимизации с одним критерием качества, т.е.

, (13)

,

где - скалярная функция;

- множество допустимых значений .

Однако в практике часто возникает необходимость найти решение, которое бы являлось наилучшим с позиций нескольких различных критериев . В связи с этим практика оптимизации в последнее время выдвинула новый класс задач, в которых критерий является не скаляром, а вектором:

=. (14)

Предполагая, что все критерии минимизируются (этого легко добиться, если у максимизируемых критериев изменить знак на обратный, умножив их на -1), задачу оптимизации можно записать в виде:

, , (15)

,

или в векторной форме:

, (16)

,

т.е. требуется определить такие значения варьируемых переменных , которые обеспечивают минимум одновременно по всем критериям оптимальности . Обычно эти критерии противоречивы и оптимизация по каждому из них приводит к разным решениям . Если окажется, что

,

т.е. все локальных решений совпадают, то это и есть решение многокритериальной задачи. Однако, как легко заметить, такое везение крайне редко. Вообще говоря,



и, следовательно, ни одно из локальных решений не может служить решением многокритериальной задачи.

Поэтому на первых порах многокритериальные задачи считались некорректными. Однако некорректность сразу снимается, если для совместного учёта всей совокупности частных критериев рассматривать векторный критерий оптимальности (14), приводящий к задаче многокритериальной (векторной) оптимизации. Решение такой задачи в общем случае, не являясь оптимальным ни для одного из частных критериев (в смысле постановки задачи (15)), оказывается компромиссным для векторного критерия в целом.

Решение задачи многокритериальной оптимизации (компромиссное решение) () является эффективным решением, если для него справедливо неравенство

,

но условие оптимальности для частных критериев выполняется не для всех . Хотя бы для одного найдётся точка , в которой выполняется строгое неравенство .

Из определения эффективного решения следует, что оно не единственное. Множество всех эффективных решений называется областью компромиссов, оптимальных по Парето.

Оптимальность по Парето векторного критерия означает, что нельзя дальше уменьшать один из частных критериев, не увеличивая значение хотя бы одного из остальных. Для определения оптимума по Парето необходимо перейти от задачи векторной оптимизации к задаче нелинейной оптимизации (13) со специально сформированной скалярной функцией цели, включающей все частные критерии.

С формальной точки зрения множество Парето служит решением многокритериальной задачи. Однако это решение, по существу, не может удовлетворить исследователя прежде всего потому, что оно допускает множество решений, а нужно лишь одно.

На первый взгляд кажется, что это расширяет возможности исследователя. Действительно, он может выдвинуть ещё один дополнительный критерий и, решив задачу оптимизации на множестве Парето
(17)



получит оптимум , удовлетворяющий -му критерию. Но это ошибочное заключение, так как оптимум (17) получен ценой значительного уклонения от оптимума исходных критериев, хотя это решение принадлежит области компромисса (множеству Парето). Таким образом, свобода выбора оптимального решения, которую представляет множество Парето, ограничена возможными уклонениями от оптимумов частных критериев.

Естественно, что оптимальное решение следует искать внутри множества Парето. Здесь существует несколько подходов, основные из которых рассмотрены ниже.

Первый подход — выбор основного критерия. Один из путей учёта совокупности противоречивых критериев состоит в том, что какой либо из критериев выбирается в качестве основного, а остальные критерии считаются вспомогательными. Оптимизацию осуществляют по основному (одному) критерию, а на все остальные критерии накладывают ограничения. Например, строгое решение задачи максимизировать выход продукции при минимальном расходе сырья при управлении технологическим процессом невозможно. Однако можно найти компромиссное решение, поставив задачу оптимизации следующим образом: получить максимальный выход продукции при заданном расходе сырья или для заданного выхода продукции обеспечить минимальный расход сырья.

Сведение задачи многокритериальной оптимизации к однокритериальной задаче с дополнительными ограничениями, порождаемыми вспомогательными критериями, встречает по крайней мере две трудности.

Во-первых, необходимо определить один главный критерий, который будет минимизироваться (максимизироваться). Эта процедура связана с огрублением задачи и такое огрубление следует сделать с минимальным ущербом для основной задачи, что само по себе превращается в проблему. Другая проблема возникает при переведении остальных критериев в класс ограничений, образующих множество . Для этого для каждого критерия необходимо определить верхнюю (нижнюю) границу его изменения .

Назначение границы представляет, как правило, серьёзные трудности, так как речь идёт об ограничении критерия, который по сути своей должен иметь экстремальный характер.

Таким образом, сведение задачи векторной оптимизации к одноэкстремальной является вынужденной и достаточно трудоёмкой операцией.

Второй подход — ранжирование критериев. Пусть критерии ранжированы и номер критерия обозначает номер ранга. Очевидно, что оптимизацию следует начинать с критерия первого ранга

(18)

Тогда решение задачи будет принадлежать множеству Парето. Пусть решение этой задачи образует подмножество , т.е. . Теперь на множестве можно оптимизировать второй критерий

. (19)

Если решение этой задачи также образует подмножество , то процесс продолжается дальше, т.е. оптимизируется следующий по рангу критерий, и т.д. Однако может случиться, что на -м этапе оптимизации множество будет состоять только из одного элемента и не будет свободы для организации поиска оптимума по следующему критерию. Обычно такая ситуация складывается довольно быстро и уже для первого критерия область состоит из одного элемента. Поэтому этот путь бесперспективен. Для того, чтобы множества не вырождались в точку, необходимо обеспечить некоторую свободу, т.е. сделать определённую уступку и не требовать строгой минимизации критерия. Это означает, что следует ограничиться компромиссным решением, которое допустимо отличается от оптимального . Эта идея реализуется в методе уступок, который сводится к следующему.

Минимизируют первый, наиболее важный критерий, в результате чего находят и . Назначают величину допустимой уступки по первому критерию и минимизируют второй критерий, находят решение , при котором , а значение первого критерия не отличается от оптимального более чем на величину установленной уступки:

. (20)

Теперь назначают величину допустимой уступки по второму критерию и минимизируют третий критерий с учётом уступок для первого и второго критериев и т.д. Оптимальным считается решение , которое получено при минимизации последнего частного критерия с учётом принятых уступок для всех остальных:

, (21)

. (22)

Очевидно, что каждая уступка определяет некоторое множество решений , удовлетворяющих неравенству (22). Поэтому последний -й критерий минимизируется в области пересечения полученных множеств , т.е. в области

, (23)

где знак обозначает операцию пересечения

множеств одновременно. Однако может оказаться, что множество пусто, т.е. множества не имеют общих точек пересечения. В этом случае уступки выбраны неудачно и их следует откорректировать, с тем чтобы множество содержало достаточное число состояний для решения задачи

.



Таким образом, применение данного метода связано с процессом разумного назначения уступок, которые должны быть оптимальными. Назначение уступок и их коррекция составляют одну из трудностей решения задачи многокритериальной оптимизации методом уступок.

Третий подход — формирование обобщённого критерия. Идея этого метода проста: построить обобщённый скалярный критерий

(24)

как функцию исходных критериев. Пусть минимизируются все частные критерии, чего легко добиться, умножив максимизируемые критерии на -1. При этом минимум обобщённого критерия (24) должен соответствовать решению многокритериальной задачи. Тогда решение поставленной задачи сведётся к обычной оптимизации

. (25)



Процесс получения скалярной функции (24), являющейся обобщённым критерием для задачи многокритериальной оптимизации, называется объединением векторного критерия.

Часто для объединения критериев применяют метод взвешенных сумм, который позволяет получить обобщённый скалярный критерий , называемый аддитивной функцией полезности, путём преобразования суммы частных критериев , умноженных на свои коэффициенты :

; (26)

; .

Параметры называются весовыми коэффициентами (степенью полезности -го критерия, весом -го критерия). Они численно характеризуют важность каждого критерия по сравнению с другими критериями. Объединение критериев возможно при равной их размерности.

В некоторых случаях допускается сравнение между собой не критериев оптимальности, а потерь по каждому из них. Потери определяются как разность между значением и его оптимальной величиной

.



В этом случае аддитивная функция полезности имеет вид

. (27)

Для удобства сопоставления и объединения двух и более критериев, имеющих различные размерности, можно рекомендовать другой подход. Он заключается в том, что исходные критерии представляют в нормированной форме, при которой они будут безразмерны. Нормирование критерия осуществляют по максимальному или минимальному его значению (в зависимости от типа оптимума исходного критерия) по следующим формулам:

, (28)

, (29)

тогда значения нормированных критериев будут лежать всегда в одних и тех же пределах

. (30)

На рисунке 4 приведены примеры нормирования критерия по формуле (28), а - по формуле (29).

Операция нормирования требует поиска оптимального значения для каждого частного критерия в отдельности, что увеличивает объём вычислительных работ. Однако полученная при этом дополнительная информация может оказаться весьма полезной для оценки общих потерь и потерь по каждому критерию при оптимизации по обобщённому глобальному критерию.

После нормирования всех исходных критериев обобщённая целевая функция (26) примет вид

, (31)

где - безразмерные весовые коэффициенты,

.

С помощью коэффициентов устанавливается система приоритетов исходных критериев. В частном случае, когда ни одному из исходных критериев не отдаётся предпочтение, т.е. при , обобщённая целевая функция принимает вид

. (32)

При нормировании по формулам (28) или (29) целевая функция всегда будет иметь максимальное значение, равное единице, т.е. .

Поэтому для обобщённой целевой функции (32) оптимальное решение соответствует , причём на основании условия , всегда будет выполняться неравенство

(33)


Рисунок 4 - Примеры нормирования критериев
где - число оптимизируемых критериев. Условие (33) позволяет контролировать результаты решения, что обеспечивает эффективность рассматриваемого подхода решения многокритериальной задачи оптимизации.

Таким образом, операции над целевыми функциями в процессе приведения их к нормированной форме по формулам (28) или (29) требуют отыскания максимума или минимума, а определение оптимального решения по обобщенному критерию — отыскания максимума.

При решении задач многокритериальной оптимизации для образования обобщенного критерия необходимо задавать численные значения весовых коэффициентов. Кроме случаев, когда коэффициенты могут быть выбраны исходя из физической сущности задачи, определение их численных значений представляет определённые трудности.

С помощью рассмотренных методов объединения частных критериев можно получить только количественные данные о задаче многокритериальной оптимизации. На основании этих данных исследователь должен из опыта или субъективных соображений оценить, получен ли наилучший компромисс между частными критериями или надо продолжать решать задачу дальше. При этом может возникнуть необходимость в изменении вида обобщенного критерия или численных значений весов коэффициентов и т.д. Для оперативного решения этих вопросов целесообразно поиск компромисса между частными критериями вести на основе диалогового взаимодействия человека с ЭВМ. ЭВМ решает задачу нелинейной оптимизации обобщенного критерия, а

исследователь оценивает, получено ли компромиссное решение. Если значения частных критериев оказываются неудовлетворительными по тем или иным соображениям, исследователь меняет установку задачи оптимизации, т.е. указывает новый обобщенный критерий, изменяет область допустимых значений , задает новые численные значения весовых коэффициентов и т.д. В этом случае этап формального решения задачи оптимизации на ЭВМ чередуется с этапами диалогового вмешательства человека в постановку задачи, изменения методов поиска и оценки полученных результатов. Такой подход к решению задач многокритериальной оптимизации связан с разработкой человеко-машинных процедур принятия сложных решений и созданием систем автоматизации процесса принятия оптимальных решений на основе диалогового взаимодействия человека с ЭВМ.
4 ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
Задача оптимизации, в которой критерий оптимальности задан функцией одной переменной, часто встречается в инженерной практике. Кроме того, одномерные методы оптимизации широко используются при решении подзадач многомерной оптимизации. Поэтому анализ задач такого типа занимает центральное место в оптимизационных исследованиях. Это обусловило разработку большого числа методов одномерной оптимизации. Ниже рассматриваются некоторые из этих методов.
  1   2   3   4   5
Учебный текст
© perviydoc.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации