Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике - файл n4.doc

Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике
Скачать все файлы (691.2 kb.)

Доступные файлы (4):
n1.doc338kb.11.12.2009 20:46скачать
n2.doc1312kb.19.10.2009 20:02скачать
n3.doc1637kb.02.11.2009 18:35скачать
n4.doc1118kb.11.12.2009 20:14скачать

n4.doc

  1   2   3
§9. Частично инвариантные подмодели.

Для некоторых подалгебр из оптимальной системы нельзя построить инвариантных решений. Это случается , когда из инвариантов подалгебры невозможно определить все газодинамические функции. Число  лишних функций, неопределяемых из выражений для инвариантов, называется дефектом инвариантности. Инварианты, из которых определяются некоторые газодинамические функции, назначаются функциями от лишних функций и инвариантов, выражающихся через независимые переменные. Число r независимых переменных этих функций называется рангом.

В качестве примера рассматривается подалгебра 5.34 из приложения, состоящая из всех переносов и растяжения. Ее инварианты: u, v, w, , p. Инвариантное решение ранга ноль есть постоянное решение:

.

Частично инвариантное решения подалгебры 5.34 ранга n дефекта n называется n - волной: простая волна при n=1, двойная волна при n=2, тройная волна при n=3.

Рассматривается простая волна, для которой представление решения удобно искать в параметрическом виде

где – новая искомая функция. Поверхности уровня простой волны есть гиперповерхности , на них газодинамические функции постоянны. Из уравнений газовой динамики (3.5), (3.6), (3.8) следует переопределенная система уравнений

(9.1)

Условия совместности системы (приведение в инволюцию) порождают новые уравнения. Часть из них образует систему обыкновенных дифференциальных уравнений для остальные уравнения есть пассивная система уравнений для .

Последнее уравнение системы (9.1) приводит к альтернативе: либо либо .

В первом вырожденном случае Изобарические течения будут рассмотрены позже.

Теорема 1. Невырожденная простая волна есть изоэнтропическое безвихревое движение. Поверхности уровня являются гиперплоскостями и звуковыми характеристиками.

Доказательство. Во втором случае альтернативы где – фиксированная функция. Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на в силу первого уравнения дает

или .

В силу (5.2) уравнение задает звуковую характеристику.

Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на в силу первого уравнения дает

. (9.2)

Так как то из первого уравнения (9.1) получаем в силу (9.2)

(9.3)

Отсюда следует, что нормаль к поверхности имеет одно и тоже направление для всех ее точек, т.е. эта поверхность является гиперплоскостью.

Из доказательства теоремы 1 следует, что система обыкновенных дифференциальных уравнений для есть (9.2) и уравнение состояния Имеется произвол в решении в 3 функции одного переменного. Система (9.3) есть пассивная система для . Для поверхности уровня =const имеем уравнение с постоянными коэффициентами



Интегрирование приводит к неявному заданию функции 

,

если определены .

Рассматривается другой пример частично инвариантного решения для всей допускаемой алгебры . Имеется только два инварианта , p. Изобарические течения p=const есть частично инвариантные решения ранга ноль дефекта 4. Уравнения газовой динамики становятся переопределенной системой для лишних функций

. (9.4)

Для описания таких движений удобно ввести лагранжевы переменные (1.2)

(9.5)

Тогда определяются все искомые функции

(9.6)

а последнее уравнение системы (9.4) в силу равенств (3.2), (9.6) принимает вид



где I – единичная матрица. Отсюда следуют три уравнения для начальных скоростей, которые в декартовой системе координат таковы

(9.7)

Для системы (9.7) найдено общее решение (Л.В. Овсянников. Изобарические движения газа. Дифференциальные уравнения. 1994. Т.30, № 10. С.1792-1799). Пусть

Теорема 2. Любое решение системы (9.7) принадлежит одному из трех классов: – постоянное решение, – простая волна, – двойная волна.

Поверхности уровня простой волны есть цилиндрические поверхности в . Линии уровня двойной волны есть плоские кривые второго порядка.

Решения типа простой волны зависят от двух произвольных функций одного переменного и одной произвольной функции двух переменных. Решения типа двойных волн зависят от трех произвольных функций двух переменных.

Доказательство. Если то . Если , то – простая волна. Подстановка в (9.7) дает

(9.8)

т.е. поверхность есть цилиндр с образующей параллельной вектору . Общее решение (9.8) можно представить в виде:



где v, w,  – произвольные функции своих аргументов.

Если , то – двойная волна. Подстановка в (9.7) дает

(9.9)

. (9.10)

Двойную волну можно задать равенством f (u, v, w) =0,

f (u ( ) , v ( ), w ( ))=0. Отсюда следуют равенства



с некоторым множителем m  . Для линий уровня , имеем с некоторым множителем n  . В силу (9.10) имеем и после интегрирования вдоль линии тока получаем

(9.11)

т.е. линии уровня есть плоские кривые в

Дифференцирование (9.11) по дает



где – матрица из вторых производных.

Скалярное умножение на с учетом (9.9) дает

Отсюда с некоторым множителем l  0 и Так как



то . Интегрирование вдоль линии уровня дает равенство

(9.12)

которое показывает, что линии уровня есть плоские кривые второго порядка.

Пусть тогда (9.11), (9.12) задают общее решение уравнений (9.7)

(9.13)

зависящее от трех произвольных функций.

Упражнение 1. Записать уравнения (9.7) в полярных координатах, связанных с цилиндрическими формулами



Упражнение 2. Вывести представление решения (9.7) для в полярной системе координат:





где – произвольные функции;




§10. Дифференциально инвариантные подмодели.

Для подгрупп большей размерности точечных инвариантов становится мало, для того чтобы существовало представление конструктивно вычисляемого группового решения. Число инвариантов можно увеличить с помощью продолжения операторов подалгебры на производные по формулам (7.6). Такие инварианты называются дифференциальными. Для любой алгебры операторов существует базис дифференциальных инвариантов, из которого все остальные получаются с помощью операторов инвариантного дифференцирования и функциональными операциями [6, стр. 319].

Уравнения газовой динамики записываются через дифференциальные инварианты базиса, тем самым определяются независимые инварианты базиса.

Дифференциально инвариантной подмоделью ранга называется представление уравнений газовой динамики как многообразие размерности в пространстве независимых дифференциальных инвариантов, проекция которого в пространство инвариантов нулевого порядка имеет размерность .

Величина ограничена сверху числом независимых переменных и ограничена снизу числом инвариантов, зависящих только от независимых переменных. Величина ограничена сверху числом независимых дифференциальных инвариантов базиса.

Для каждой подалгебры из оптимальной системы можно рассмотреть более общее определение дифференциально – инвариантных решений: дополнительные соотношения на дифференциальные инварианты. Эти соотношения называют инвариантными дифференциальными связями.

Рассматривается известный пример такого представления.

Нетрудно проверить, что векторное уравнение

(или ) (10.1)

инвариантно относительно всей алгебры , продолженной на производные. Оно может быть записано через дифференциальные инварианты. Движения газа, удовлетворяющие (10.1), называются безвихревыми. Из анализа известно, что (10.1) равносильно существованию потенциала

(10.2)

поэтому безвихревое движение называют также потенциальным.

Лемма. При непрерывном безвихревом движении нормального газа выполняется соотношение

. (10.3)

Доказательство. Из уравнения (3.14) для вихря



в силу равенства при получается (10.3).

Если движение газа баротропно , непрерывно и в начальный момент безвихревое, то оно будет безвихревым во все моменты времени.

Для безвихревого изэнтропического движения уравнение импульсов интегрируется. Действительно, из (2.2) следует или . Уравнение (3.13) принимает вид Отсюда получается интеграл Коши-Лагранжа

(10.4)

Без ограничения общности b(t) можно считать равным нулю. Вместе с уравнением неразрывности получается замкнутая подмодель

(10.5)

где – оператор Лапласа.

Из (10.4), (10.5) исключается ; получается квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка:



где  должно быть найдено из (10.4),

В декартовой системе координат имеем

(10.6)

Уравнение (10.6) имеет только две звуковые характеристики. Следовательно, в потенциальном движении слабый разрыв распространяется только по звуковым характеристикам, а на поверхностях из линий тока всякий слабый разрыв есть контактный разрыв.

Для установившегося потенциального течения интеграл Коши-Лагранжа (10.4) совпадает с интегралом Бернулли (8.8)

(10.7)

где не зависит от линий тока. Из (10.6) получим

(10.8)

Характеристическая квадратичная форма для единичного нормального вектора имеет вид: . Так как , то в области течения с дозвуковыми скоростями уравнение (10.8) имеет эллиптический тип. Если то квадратичная форма разлагается на два действительных множителя, т.е. (10.8) имеет гиперболический тип. В области течения с трансзвуковыми скоростями уравнение (10.8) имеет смешанный элептикогиперболический тип.

Уравнения газовой динамики вместе с (10.1) допускают . Значит, уравнение (10.6) допускает аналог , записанный для производных от функции  (это алгебра контактных преобразований). Уравнения (10.8) допускают аналог нормализатора алгебры из оптимальной системы, т.е. подалгебру 8.1, записанную в переменных x, y, z.

На группе вращений рассматривается особое инвариантное решение с представлением вида



Подстановка в (10.8) и (10.7) дает

. (10.9)

Подстановка в первое равенство дифференциала второго равенства и интегрирование дает

(10.10)

где 4Q есть расход газа через сферу радиуса r.

Итак, имеется два интеграла (10.9), (10.10) для описания движения. Для конечных значений  и  из (10.10) следует, что . Минимум вычисляется y функции достигается для критической скорости при и равен При r либо 0, либо 0 при этом (Рис. 1).

Таким образом, при  > 0, Q > 0 ( < 0, Q < 0) получаются два

возможных неточечных звуковых источника ( стока).

В случае течение вне источника (стока) дозвуковое, в

случае течение сверхзвуковое.



r



Рис. 1

0

Ускорение частицы в рассматриваемом радиальном течении вычисляется по формуле . При получаем .

Таким образом, течение двулистно и происходит с дозвукового листа на сверхзвуковой лист через звуковую сферу с бесконечным ускорением. Поверхность, на которой ускорение бесконечно, называется предельной поверхностью и физически реализоваться не может. До ее появления в течении образуется поверхность слабого или сильного разрыва, по которой примыкает другое решение уравнений газовой динамики или какой-то другой модели.

Другой пример дифференциально - инвариантного решения есть движение газа с не изменяющимся объемом или (см. (3.2)). Это уравнение инвариантно относительно всей алгебры .

Из уравнений газовой динамики и закона (2.2) следует



Эта переопределенная подмодель изохорических движений не приведена в инволюцию.

Упражнение 1. Продолжить операторы алгебры на производные.

Упражнение 2. Проверить инвариантность относительно равенств .

Упражнение 3. Построить решение уравнений газовой динамики с .

Упражнение 4. Построить все инвариантные подмодели ранга 2 для уравнения (10.6).

Упражнение 5. Вычислить характеристическую квадратичную форму для уравнения (10.8).
  1   2   3
Учебный текст
© perviydoc.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации