Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике - файл n3.doc

Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике
Скачать все файлы (691.2 kb.)

Доступные файлы (4):
n1.doc338kb.11.12.2009 20:46скачать
n2.doc1312kb.19.10.2009 20:02скачать
n3.doc1637kb.02.11.2009 18:35скачать
n4.doc1118kb.11.12.2009 20:14скачать

n3.doc

  1   2   3   4
§5. Характеристики и слабые разрывы.

Для уравнений газовой динамики, как и для любой системы квазилинейных уравнений, вводится понятие характеристик. Рассматривается система в матричном виде (3.10) и определяется характеристическая матрица



где . Вектор называется характеристическим вектором системы, если Так как

, то относительно  получается алгебраическое уравнение 5-ой степени. Имеется 5 вещественных корней: один трехкратный корень и два простых корня . Если число действительных корней характеристического уравнения, учитывая кратность, и число левых собственных векторов совпадает с порядком системы, то система (3.10) называется гиперболической.

Поверхность называется характеристической, если ее нормаль в каждой точке совпадает с характеристическим вектором . Таким образом, трем действительным корням соответствуют 3 уравнения с частными производными первого порядка для действительных характеристик

(5.1)

(5.2)

Решение характеристического уравнения задает поверхность  в с единичным нормальным вектором , где – орт оси t, – нормаль к C(t) в , C(t) сечение  плоскостью

t = const, угол между векторами и .

Для величины  имеется представление . Так же как в §4 для скорости перемещения поверхности C(t) в направлении нормали справедливо соотношение Следовательно, и уравнения характеристик записываются в виде

(5.3)

Через характеристику газ не течет, в пространстве она является геометрическим местом мировых линий частиц и называется контактной характеристикой.

Через характеристики газ течет, причем относительно характеристики по нормали к ней – со скоростью звука. Они называются звуковыми характеристиками.

Характеристики , определяются на заданном решении уравнений газовой динамики. Для их однозначного определения к уравнениям (5.1), (5.2) надо задать двумерную поверхность  в , через которую проходят и , например, так Тогда уравнение определяет в начальную двумерную поверхность, через которую пройдут характеристики .

Решения уравнений (5.1), (5.2) строятся методом характеристик, которые для уравнений газовой динамики называются бихарактеристиками. Бихарактеристики – это кривые, которые, проходя через каждую точку двумерной поверхности , образуют характеристическую поверхность. Уравнения для бихарактеристик таковы

; (5.3)

(5.4)

Все бихарактеристики, выходящие из одной точки образуют характеристический коноид. Бихарактеристика для есть мировая линия. Бихарактеристики для коноида удовлетворяют системе (5.4) с начальными условиями и условиями согласования , где – значение известных функций в точке P. Так как точка P фиксирована, а условие согласования однородно по переменным , и уравнения (5.4) допускают растяжение по этим переменным, то в начальных условиях остается лишь два свободных параметра. Таким образом, двухпараметрическое семейство бихарактеристик образует двигающуюся двумерную поверхность в .

Упражнение 1. Показать, что характеристический коноид для постоянного решения задается уравнением

, (5.5)

которое определяет трехмерный конус в Сечение гиперплоскостью есть сфера в с центром, двигающимся по прямой траектории и радиусом равным .

Звуковые поверхности, исходящие из начальной поверхности при ( - параметрическое задание начальной поверхности, т.е. - нормаль к начальной поверхности) строится по решению системы (5.4) с условиями .

Для постоянного решения получим - параметрическое задание двигающейся поверхности. Например, для сферы ( в сферической системе координат ) имеем или, исключая , получим - две двигающиеся сферы: одна «+» двигается вне начальной сферы, другая «-» двигается внутри начальной сферы.

Вдоль характеристик уравнения газовой динамики представляются как обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого вычисляют левые собственные векторы матрицы для каждого характеристического вектора, и действуют ими на систему (3.10).

Для характеристики ранг матрицы равен двум и имеются три линейно независимых собственных вектора (0,0,0,0,1), , Умножение (3.10) на них слева дает уравнения, в которых дифференцирование функций u, v, w, p, S производится вдоль некоторой линии, лежащей на характеристике :



(5.7)

Для Характеристики ранг матрицы равен четырем. Собственный вектор таков . Умножение (3.10) на собственный вектор слева дает условие на характеристике

(5.8)

Система из 8 уравнений (5.1), (5.2), (5.7), (5.8) для восьми искомых функций вместе с уравнением состояния образует характеристическую форму уравнений газовой динамики.

Упражнение 2. Проверить, что функции u, v, w, p, S в уравнениях (5.7), (5.8) дифференцируются вдоль некоторых кривых, лежащих на соответствующих характеристиках.

Характеристики играют важную роль при постановке и решении краевых задач. Например, задача Коши для (3.10) ставится так: на некоторой гиперповерхности  задаются значения искомых функций

(5.9)

и требуется определить решение в окрестности , принимающее заданные значения на . Существование условий на характеристиках означает, что данные (5.9) не могут быть произвольными, если  является характеристикой. Кроме того, если  – характеристика и выполнены условия на характеристике, то решение не может быть единственным. Действительно, все производные можно выразить через производные вдоль кривых, лежащих в , и производные в направлении нормали к . Хотя бы одна линейная комбинация уравнений системы (3.10) связывает только производные, касательные к . Оставшихся уравнений недостаточно, чтобы определить все нормальные производные однозначно. Таким образом, задача Коши с данными на характеристике поставлена некорректно.

Если некоторое решение системы (3.10) ограничено характеристической, поверхностью , то с другой стороны  могут непрерывно примыкать другие решения, причем производные в направлении нормали к  могут претерпевать разрыв.

Поверхность называется поверхностью слабого разрыва решения, если это решение и производные от решения по касательным направлениям к  непрерывны, а производные по нормали имеют в точках  разрыв первого рода.

Теорема 1. Пусть  является поверхностью слабого разрыва решения  системы (3.10). Тогда  есть характеристика на решении .

Доказательство. Пусть – единичный вектор нормали к , – дифференцирование по направлению . Для любого направления дифференцирование вдоль раскладывается в сумму , где – дифференцирование в касательном к  направлении. Если есть орт оси , то , . В результате подстановки выражений для всех производных в уравнения (3.10) получается соотношение , где – гладкая функция на  и в ее окрестности. Если для характеристической матрицы , то все нормальные производные однозначно определяются, что противоречит определению слабого разрыва. Значит, и  – характеристика.

Уравнения характеристик (5.1), (5.2) получены из дифференциальных уравнений газовой динамики (3.10) алгебраическими преобразованиями. Поэтому они инвариантны относительно группы преобразований .

Упражнение 3. Проверить, что (5.1), (5.2) допускают преобразования группы , а также растяжение и преобразование , где  – произвольная функция. Аналогичное утверждение справедливо и для уравнений на бихарактеристики (5.3), (5.4).
§6. Основные краевые задачи.

Квазилинейная система (3.10) или интегральная система (1.4) имеет бесконечное множество решений. Для выделения из него специальных решений необходимо задавать дополнительные соотношения. Таковыми могут быть дополнительные уравнения, соотношения на поверхностях в пространстве движения газа, предельное поведение решения, интегральные характеристики движения. Как правило, дополнительные соотношения получаются из физической постановки задачи, но они могут задаваться определенным видом искомого решения.

Краевая задача – это способ задания искомых величин и их производных на поверхностях, ограничивающих область движения газа. К таким задачам предъявляется требование корректности: в определенном функциональном пространстве решение задачи должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от дополнительных условий.

Задача Коши или задача с начальными данными. Задается движение в начальный момент времени :

(6.1)

и требуется найти решение уравнений газовой динамики, принимающее при значения (6.1).

Решение задачи Коши можно искать в различных функциональных классах: в классе CА аналитических функций, в классе бесконечно дифференцируемых функций, в классе Ck функций конечной гладкости, имеющих производные k-го порядка, в классе C непрерывных функций, в классе измеряемых ограниченных функций, в классах обобщенных функций.

Теорема 1 (Коши-Ковалевской). Для любых аналитических данных (6.1) и аналитического уравнения состояния существует единственное аналитическое решение системы уравнений (3.5), (3.6), (3.9), удовлетворяющее начальным условиям (6.1),

. (6.2)

Это решение определено в области , где , и непрерывно зависит от начальных данных (6.1) в метрике пространства аналитических функций.

Доказательство. Фиксируем , . Начальные функции (6.1) разлагаем в ряды Тейлора по степеням , сходящиеся в шаре . Докажем теорему в шаре быть может меньшего размера. Замена переменных

, приводит к задаче Коши вида

(6.3)

где элементы матриц Bk и вектора являются аналитическими функциями в нуле. Ряды этих функций сходятся в шарах .

Говорят, что аналитическая функция , имеет мажоранту , , если .

Дифференцирование равенств (6.3) определяет все производные функции в нуле. Значит, если искать решение задачи (6.3) в виде ряда Тейлора, то его коэффициенты определяются однозначно как многочлены с положительными коэффициентами от коэффициентов рядов для и . Для этого делаются следующие операции: дифференцирование рядов, сложение и умножение рядов, подстановка ряда в ряд, переход к пределу при что определяет положительность коэффициентов многочлена.

Рассматривается мажорантная задача Коши

(6.4)

где – мажоранта для , – мажоранта для . Если найдется сходящийся в нуле ряд, являющийся решением мажорантной задачи (6.4), то он будет мажорантой для формального ряда – решения задачи (6.3). Действительно, многочлены, одни и те же для обоих задач (6.3) и (6.4). Эти многочлены с положительными коэффициентами, значит, их значения для задачи (6.4) мажорируют их значения для задачи (6.3). Остается подобрать , возможно простого вида, чтобы мажорантная задача точно разрешалась.

Пусть элементы матрицы и вектора разлагаются в ряды , сходящиеся в шарах

. Тогда существуют постоянные такие, что Решение задачи (6.4) разыскивается в виде :

(6.5)

Решение задачи (6.5) задается квадратным уравнением

(6.6)

Уравнение (6.6) имеет два различных корня при , так как . Поэтому в некотором шаре радиуса точки уравнение (6.6) имеет ненулевой дискриминант. Из двух корней выбирается тот, который при принимает значение M. Итак, определяется аналитическое решение задачи (6.5), разлагающееся в ряд, сходящийся в шаре с центром в точке . Этот ряд является мажорантой решения задачи (6.3). Теорема доказана в областях , которыми можно покрыть все пространство .

Непрерывная зависимость от начальных данных следует из того, что при выбранный корень уравнения (6.6) стремится к нулю.

Упражнение 1. В каком месте доказательства теоремы 1 использовалось условие (6.2)? Чему равны значения функции

В классах функций конечной гладкости справедлив аналог теоремы 1, утверждающий корректность поставленной задачи Коши в малом по t, т.е. в области для небольших значений .

Теорема единственности справедлива в большой области.

Теорема 2. Пусть ограниченная область имеет сечения (t) гиперплоскостью t = const и ограничена областью и гиперповерхностью  с внешней нормалью имеющую общую границу с .

Пусть решение системы (3.10) и граница  удовлетворяют условиям

(6.7)

(6.8)

Тогда для любого другого решения найдется постоянная k>0, с которой для разности справедлива оценка

(6.9)

где норма решения определяется равенством



Доказательство. Система (3.10) с помощью обозначения записывается в виде Для разности двух решений получим

.

Скалярное умножение на 2, тождество

, – симметричные матрицы, приводят к соотношению

Интегрирование по части области , лежащей между гиперплоскостями t = 0, t = const, дает по формуле Гаусса-Остроградского

(6.10)

где – характеристическая матрица из § 5.

Неравенство Коши и соотношение (6.8) дают положительную определенность квадратичной формы на :



(6.11)

Ввиду равномерной ограниченности решений и их производных в , условия (6.8) и положительной определенности матрицы утверждается, что с некоторыми положительными постоянными M, m, N справедливы неравенства

(6.12)

Из (6.10), (6.11), (6.12) следует неравенство

(6.13)

справедливое для любого .

Замена в (6.13) дает . Интегрирование последнего неравенства с граничным условием дает или . Тогда неравенство (6.13) принимает вид . Отсюда следует (6.9) с .

Следствие. Если на при t=0, то это равенство верно в любой точке .

Если – гладкая гиперповерхность класса , то на ней (6.8) может выполняться в виде равенства, т.е. она, есть характеристика на решении , тогда  называется областью определенности задачи Коши.

Обобщенная задача Коши. Значения искомых функций задаются на гиперповерхности , в каждой точке которой выполнено строгое неравенство (6.8) для ее нормали. Если же некоторые бихарактеристики лежат в гиперповерхности  или касаются ее, то обобщенная задача Коши может быть некорректной.

Задача о поршне. Вместе с начальными данными на гиперплоскости t=0 задают контактную характеристику : . Через  газ не течет и ее сечение гиперплоскостью t=const задает движение деформирующегося поршня. Скорость движения этого сечения в направлении нормали при t=0 может не совпадать с нормальной компонентой скорости частиц газа. В этом случае возникает сильный разрыв. Если скорость сечения в начальный момент совпадает с нормальной компонентой скорости, то выполняются условия согласования нулевого порядка и возможен слабый разрыв производных, который будет двигаться по звуковой характеристике. При согласовании первых производных, могут рваться вторые производные и т.д. Задача о поршне с условием согласования корректна в малом по t возможно со слабым разрывом, распространяющимся по звуковой характеристике, проходящей через сечение  с гиперплоскостью t=0. Если же условия согласования не выполнены, то непрерывного течения не существует и реализуется движение с сильным разрывом и центрированными волнами разрежения.

Задача обтекания. Частный случай задачи о поршне, когда поверхность  неподвижна и непроницаема. Если  задается уравнением , то условие непроницаемости таково

(6.14)

Набегающий поток газа задается параметрами газа на бесконечности.

Задача со свободной границей. Задаются начальные данные. Разыскивается контактная характеристика , на которой задается давление. Если  определяется уравнением , то условия на свободной поверхности таковы

(6.15)

Разрешимость таких задач изучена слабо.

Задача Гурса. Все граничные данные задаются на характеристиках и удовлетворяют условиям на характеристиках. Например, пусть задана гладкая поверхность , расположенная на гиперплоскости t=0. Через нее проходят две звуковые характеристики и разных семейств, на которых заданы значения газодинамических величин как функции класса с выполненными условиями на характеристиках. Требуется определить решение в области , ограниченной характеристиками и . Если решение класса существует, то в области  содержится контактная характеристика , на которой может образоваться слабый разрыв. Все зависит от условия согласования данных на . Если граничные данные непрерывны на , то вдоль характеристики распространяется разрыв производных. Если на  непрерывны первые производные граничных значений, то вдоль характеристики распространяется разрыв вторых производных и т.д. Если условие согласования не выполнены, то в  необходимо возникают особенности.

Задача Гурса корректна в малом по t для времени подобных областей, для которых прямая параллельная оси t выпущенная из точек лежит внутри области . В противном случае для пространственно подобных областей на граничных характеристиках должны выполняться условия согласования: мировая линия пересекающая характеристики имеет в точках пересечения согласованные скорости.

Задача с особенностями. Если начальные данные (6.1) не являются непрерывными, то для любого t в решении появятся особенности, характер которых зависит от структуры функций (6.1). К таким задачам приводятся физические задачи взаимодействия различных движений газа или соприкосновение газа с внешними телами; сосредоточенное взаимодействие на газ в точке, на линии или на поверхностях, на которых задаются интегральные характеристики: поток массы, импульса или энергии; асимптотического поведения параметров газа в точке, на линии, на поверхности при .

Задача отыскания периодических решений. Начальные данные (6.1) есть периодические функции. Требуется найти решение, являющееся периодическим для .

Могут быть и другие ограничения на решения. С ними познакомимся далее.

  1   2   3   4
Учебный текст
© perviydoc.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации