Шпаргалки к экзамену по высшей математике - файл n1.doc

Шпаргалки к экзамену по высшей математике
Скачать все файлы (350.5 kb.)

Доступные файлы (1):
n1.doc351kb.30.03.2014 19:28скачать

n1.doc

  1   2   3   4
#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX   >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции  опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0  x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x)  x,yX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y)  x,y,z X в этом случае функция  метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у

#2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред ф-ия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями (t) (t) {}обр ф-ия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)

#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/0 $n1 при n>n1 /xn-a/n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/ xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/ при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если n0:n>n0 aNbNcN и Lim aN=a, Lim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда  n’: n>n’ => cN<(a+E) &  n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)NbNcN<(a+E), т.е.  n>max{n0,n’,n”}=>bN(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, n0: n>n0 хNyN, тогда xy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела  n0’: n>n0’ |хN-х|0”: n>n0” |yN-y|max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. n>max{n0’, n0”} хN(х-Е,х+Е) & уN(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при xa если E>0  =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|xaf(x)=} Если E{бол}>0  =(E)>0 | x 0<|x-a|<  |f(x)|xaf(x)= {O limxaf(x)=+} Если E>0  =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)>E {O limxaf(x)=-} Если E>0  =(E)>0 : x 0<|x-a|< вып f(x)<-E {O limxf(x)=A} Если >0  =()>0 : x |x|> вып |f(x)-A|< {O limxf(x)=} Если E{бол}>0  =(E)>0 : x |x|> вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb xa+0(-0) называется число А / >0 =()>0 при x a(-)xa+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limxa, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limxaf(x)=A limxaf(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;); U(B;), тогда для данного  1) =()>0 | при x 0<|x-a|<  |f(x)-A|<  f(x)U(A;) 2) 2=2()>0 | при x 0<|x-a|<2  |f(x)-B|<  f(x)U(B;) Пусть 0=max(1,2), тогда при х уд. 0<|x-a|<0 вып. f(x)U(A;E), f(x)U(B;E)  Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при xa f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. limxaf(x)=A, то для =1 >0 | при x 0<|x-a|< вып. |f(x)-A|<1  |f(x)|=|f(x)-A+A||f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при х уд 0<|x-a|< -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ ха если limxaf(x)=0 {o} ф-ция ББ если limxaf(x)=+(-) {T} Если f(x) бб при ха, то 1/f(x) бм при ха. Если f(x) бм при ха и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при ха {Док} Возьмём E>0  =(E) >0 | при x уд. 0<|x-a|<  |f(x)|>1/E  1/f(x)0 | x, уд. 0<|x-a|<1 f(x)0 возьмём E{бол}>0 тогда  2>0 | при 0<|x-a|<2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть =min(,2) при x , 0<|x-a|< вып-ся f(x)0, |f(x)|<1/E  1/f(x)>E  1/f(x) –бб при ха {T} Сумма двух б.м при xa есть бм при xa {Д} Пусть limxaf1(x)=0 limxaf2(x)=0 >0, тогда 1=1()>0 | при х 0<|x-a|<1  |f1(x)|</2  2=2()>0 | при x, 0<|x-a|<2 |f2(x)|</2 Пусть =min(1,2)  x 0<|x-a|<  |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=/2+/2=  limxa(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при xa на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при xa {Док} Пусть limxag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(,1) т.е.  >0 | х U(a,1) |g(x)|< >0   2>0 | при x, 0<|x-a|<2  |g(x)|</ ; Пусть =min(1,2)  x, 0<|x-a|<  |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|</=  limxaf(x)g(x)=0

#6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при ха А=lim(a)f(x)  f(x)=A+(x) ;Где (x) – б м ф-ия при ха {док-во} Пусть А=lim(ха) f(x) предположим ; (x)=f(x)-A и докажем что (x)-б м ф при ха. Возьмем  >0   завис от  такое что ()>0 такое что х, 0 /f(x)-A/< => /(x)/=/f(x)-A/< таким образом (x) – бмф при ха пусть f(x)= (x)+A где (x) – бмф при ха тогда при  >0  >0 такая что х удв 0 /f(x)-A/=/(x)/ < => limа)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при ха =А и сущ limа)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В0 ; 1-e св-во тк lim(ха)f1(x)=A и lim(ха)f2(x)=B => f1(x)=A+1(x) f2(x)=B+2(x) где 12 бм ф-ии при ха тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12= A+B+(x)== где (х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть limа)f1(x)=b1 limа)f2(x)=b2 и b1 f1(x) 1)1=c-b1>0 1>0 так что хU(a,) /f1(x)-b1/<1 = c-b1 => b1-c f1(x)0 так что хU(a,) =>/f2(x)-b2/<=b2-c => c-b2 хU(a,) => f1(x) f1(x)а)f1(x)=b1 limа)f2(x)=b2 и  U(a,) так что хU(a,) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,) так что хU(a1,1) => f1(x)>f2(x) o =min(12) =>хU(a1,o) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limxa(x) ; limxaf(x) причём limxa(x)=A limxa(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,) вып-ся (x)f(x)(x) тогда limxaf(x)=A {Док-во} E>0  2>0 | x 0<|x-a|<2  A-E<(x)0 | x, 0<|x-a|<3  A-E<(x)
#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть limxaf(x)=A limyAg(y)=B и в некоторой U(a,1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)А тогда limxag(f(x))=limyAg(y) {Док-во} E>0 т.к.  limyAg(y)=B  >0 |y , 0<|y-A|< |g(y)-B|xaf(x)=A для Е1=  <1 | x , 0<|x-a|<  0<|f(x)-A|<  x, 0<|x-a|<  |g(x)-B|xag(f(x))=B=limyAg(y)

#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если  C>0 | |f(x)|C(g(x)) x  E f(x)=O(1) на E  f(x) ограничена на Е т.е.  С>0 | |f(x)|C xE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при xa и пишут f(x)=o(g(x)), xa , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limxfE(x)=0 x=o(x), x0 f(x)=og(x) , xa E(x)=x h(x)=o(g(x)), xa; (x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) xa f(x) есть O-большое от g(x) при xa, если  U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), xa Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами xa, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел  limxaf(x)/g(x)=1 пишут f(x)g(x) xa {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) xa g(x)0 (xa) {Док-во} Пусть f(x)g(x) , xa тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и  limxaf(x)/g(x)=1   E(x), E(x)0 при xa | f(x)/g(x)=1+E(x) f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), xa. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) xa , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limxaE(x)=0  f(x)/g(x)=1+E(x)  limxaf(x)/g(x)=1  f~g(x) xa {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при xa g(x)0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при xa имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при xa {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при xa, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при xa

9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для  >0  =()>0 такое что h /h/< /f(a+h)-f(a)/<  Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0),  f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limxa+0f(x) (f(a-0)=limxa-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а  f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)0 тогда существует окрестность точки а :U(a) и с>0 такое что f(x)>c xU(a,) ((1)f(a)>0) f(x)< -c xU(a) при f(a)<0 {Док-во} возьмем  =/f(a)//2>0 тогда  >0 такое что xU(a) => /f(x)-f(a)/< =/f(a)//2 f(x)0 => /f(a)/=f(a)=> xU(a) f(a)/2 c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> xU(a) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд

#10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b  X , a0  по теореме Больцана –Каши  с(a,b) | (c)=0  f(c)-C=0 f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения . [a,b] | f()=minf(x) x[a,b]; f()=maxf(x) x[a,b] f()<=f(x)<=f() x [a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХRn называется равномерно непрерывной на Х если для >0 =()>0 | x’,x’’X,(x’,x’’)<|f(x’)-f(x’’)|<; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для >0 = | x’,x’’R, |x’-x’’|<= {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.

#11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем >0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число >0 так что у /у-b/< так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/< из непрерывности ф-ии g(x) в т а  >0 (х) опред на (а-;а+) и х(а-;а+) => /f(x)-f(a)/<. На интервале (а-;а+) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/< => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.

#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при х [a,b] у[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=(y) также непрерывна {Д} Пусть y0[A,B]  x0=(y0), f(x0)=y0 x0(a,b) ; возьмём >0 столь малое, что [x0-,x0+][a,b] Пусть y1=f(x0-) y2=f(x0+) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f y(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+) тогда для у из [A,B] получаем [a,b]  мы получили на нём >0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | у(у1,у2) соответсвует (y)(x0-;x0+) Если это утверждение справедливо для мал  то оно справедливо для +  ф-ция  - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В  х0=(y0)=b Возьмём 
#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh0f(x)=0; 2) f(x)=x; f(x)=x+h-x=h limh0h=0; 3)f(x)=xn, nN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций  по индукции xn=xn-1x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма xR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.(OB,ox)=x; (OB’,ox)=x 0<=x<=/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки  |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx  2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=/2 Если |x|>/2  |sinx|<=1</2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |f(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |f(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 f=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a1 непрерывна на (0,+) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.

#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп  сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд аn сход то lim(n)an=0 док-во если ряд an сх то  lim(n)Sn=S=lim(n)S(n-1) тогда lim(n)an = lim(n)(Sn-S(n-1)) = lim(n)Sn-lim(n)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда (n=1,)an   >0  n такое что при n>n и р Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<; {} (n=1..)1/n( в степ )  >1 сход <1 расход; n<=n Пусть <=1  1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2  для =1/2 при  n  p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>  ряд расх. Пусть >1, =2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+…+(1/(2k-1+1)+,,,+1/(2k)); 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>1/n+1/n+1/n=n/n=1/n-1=1/n<1+1/2+1/2/(1-1/2)  {S2k} –ограничена сверху т.к. n k |n<2k  Sn2k ряд сход.

#15 {Св-ва сходящихся рядов} Если +n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть k=m+1+ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда (1,+)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма k=m+1+ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. limnaAn  limS+Am+S limS+A’S=lims+Am+S-Am  k=m+1+ak cx-cя; Пусть k=m+1+ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s  An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. lims+A’Slimn+A’n=m  limn+A=limn+An-n+Am  n=1+an ряд сх. {Следствие} Если ряд (1,+)an сх-ся и n=(k=n+1,+)ak limn+n=0 {Док} Пусть An=(1,n)ak, A=limn+An  A=An+nn=A-A1  limn+n=A-limn+An=0 {Т} Если ряды (n=1,+)an и (n=1,+)bn сх-ся и -число, то (n=1,+)(an+bn) сх-ся и (n=1,+)an сх-ся {Д} Пусть Аn=(k=1,n)ak, Bn=k=1nbk; A=limn+An, B=limn+Bn; limn+(An+Bn)=A+B, limn+An=A Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда (n=1,+)(an+bn) и An=a1+…+an- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.

#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда (n=1..)an и (n=1..)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и  no такое что при n>no аn  M>0 такое что Bn (k=no+1..)ak сх-ся =>(k=1..)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n) an/bn =k то; 1).0<=k<+ из сход bn следует сходимость an; 2).0 =1  no такое что при n>no an/bn an<(n+1)bn n>no => из сх bn следует сходимость an => aк сходится 0<к<=+ =к/2 (к<+) и =1 к=+  no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+) an/bn>1; k=+ => при n>no аn>(k/2)bn (k<+) => из расход bn =>аn расх =>ак а>bn (k=+)  Утв.

#17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. (n=1,+)qn-1 cх-ся как бесконечная => (n=1,+)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n)an0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: limn+an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 >0 |k+<1 n0 | n>n0 an+1/ann=1+an сх-ся. Пусть k>1; k<+ >0 | k->1  n0 | при n>n0 an+1/an>k->1  n=1+an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть  lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход

#18 {O} Знакопеременными рядами называют n=1+(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд (-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n lim(k)S2k+1=lim(k)S2k=S; Из вышесказанного следует lim(n)Sn=lim(n)S2k = lim(k)S2k+1=S {Док-ть самим}

{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю

#19 Ряд n=1an –наз абс сход если сход ряд |an|. Если an – cх а |an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд n=1+an -абс сх  n=1+|аn| -сх-ся  по критерию Коши >0 n| при n>n и pZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<  по критерию Коши  n=1+an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если n=1+an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды n=1+an и n=1+bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда n=1+an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn+|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд еn=1+Ґan- сход при k<1 ряд еn=1+Ґan-сх при k>1 ряд еn=1+Ґan- расх {Т2} Если для посл-ности еn|an|; k=limn+ n|an|; при k<1 ряд еn=1+Ґan-сх при k>1 ряд еn=1+Ґan- расх.
  1   2   3   4
Учебный текст
© perviydoc.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации