Шпаргалки на вопросы к государственному экзамену на кафедре МОИС в ОГУ - файл 1,2,3,4,5,6,7,8.docx

Шпаргалки на вопросы к государственному экзамену на кафедре МОИС в ОГУ

Доступные файлы (29):

1,2,3,4,5,6,7,8.docx	115kb.	06.03.2012 18:28	скачать
11,12.docx	44kb.	10.03.2012 01:26	скачать
13,14.docx	120kb.	10.03.2012 20:14	скачать
n4.docx	44kb.	10.03.2012 16:02	скачать
n5.docx	30kb.	10.03.2012 01:24	скачать
17_18_19.docx	55kb.	08.03.2012 12:54	скачать
n7.docx	94kb.	10.03.2012 01:21	скачать
n8.docx	50kb.	11.03.2012 21:07	скачать
n9.docx	55kb.	10.03.2012 01:21	скачать
n10.docx	135kb.	10.03.2012 18:33	скачать
n11.docx	48kb.	13.03.2012 13:31	скачать
n12.docx	97kb.	13.03.2012 13:32	скачать
27, 28,29,30.docx	90kb.	08.03.2012 16:55	скачать
31_32_33_34_35.docx	93kb.	08.03.2012 12:21	скачать
40,41,42,43,44,45,46,47.docx	401kb.	11.03.2012 21:45	скачать
40,41,42,43,44,45,46,47.pdf	464kb.	10.03.2012 20:33	скачать
48, 49,50,51,52.docx	218kb.	08.03.2012 23:28	скачать
53,54,55,56.docx	341kb.	10.03.2012 19:58	скачать
57, 58,59,60.docx	287kb.	06.03.2012 17:01	скачать
61,62,63,64.docx	225kb.	08.03.2012 16:36	скачать
65, 66, 67,68, 69.docx	54kb.	08.03.2012 15:11	скачать
70, 71, 72.docx	43kb.	09.03.2012 10:14	скачать
73,74,757,76,77,78,79,80,81,82.docx	331kb.	10.03.2012 19:47	скачать
n24.docx	72kb.	10.03.2012 11:17	скачать
n25.docx	47kb.	10.03.2012 15:33	скачать
85,86,87.docx	54kb.	11.03.2012 22:30	скачать
88,89,90,91,92,93,94.docx	294kb.	09.03.2012 21:21	скачать
9,10.docx	138kb.	10.03.2012 16:48	скачать
n29.docx	78kb.	08.03.2012 15:15	скачать

1,2,3,4,5,6,7,8.docx

1. Осн алгебр стр-ры.Подстр-ры.Мн-ва.НОД в кольце главных идеалов.Алг Евклида.Простые эл-ты евклидова кольца,осн теор арифмет.

Из справ: осн опред-я про мн-ва. Операции-объед-е, пересеч, разности, дополнения. Изображ диаграммами Эйлера-Венна.

Пусть X-произв мн-во. Унарная алгебр опер-это отображ f:X?X в себя. Бинарная алгебр опер-это произвольное (но фиксир) отображ ?:XЧX декартова квадрата X²=XЧX в X. Т.о. любой упоряд паре (a,b) эл-тов a,b?X ставится в соотв однозначно определенный эл-т ?(a,b) того же мн-ва X. Нульарные опер-это фиксир эл-ты мн-ва X, назыв также выделенными эл-тами, иногда нулями. n-арной алгебр опер на X наз отображ f:Xⁿ?X. Т.е. n-компонентному эл-ту (вектору из n эл-тов) однозначно ставится в соотв один эл-т. Число n наз арностью X. Обычно опер обозначают спец символом: Ч,∙,+. Условно назовем a∙b произвед-ем, а a+b-суммой, а стр-ры, содерж эти опер, соотв-нно мультипликат и аддитивными. Сов-ть мн-ва X и некот опер (X,*) образует алгебр стр-ру. Подмн-во X'?X наз подстр-рой, если X' замкнуто отн-но опер. Дадим некот опред-я. Ассоц-ть: (a*b)*c=a*(b*c). Коммутат-ть: a*b=b*a. Единичный эл-т: e*x=x*e=x, при этом в алгебр стр-ре он всегда т-о один. Декартовым произвед мн-в X и Y наз мн-во XЧY всех упоряд пар (x,y) таких,что x?X,y?Y. Отображения Если кажд эл-ту x мн-ва X поставлен в соотв ровно один эл-т ѓ(x) мн-ва Y, то гов, что задано отображ ѓ из мн-ва X в мн-во Y. Эл-т y наз образом эл-та x при отображ ѓ, а эл-т x наз прообразом эл-та y при отображ ѓ. Обознач: ѓ: X?Y. Отображ ѓ:X?Y наз сюрьект(или отображенным на),если кажд эл-т мн-ва Y явл образом хотя бы одного эл-та мн-ва X(рис.2)

1. 2. 3. Отображ ѓ: X?Y наз инъект, если разные эл-ты мн-ва X переводятся в разные эл-ты мн-ва Y(рис.1). Отображ ѓ: X?Y наз биект, когда оно и сюрьект, и инъект(рис.3) Пусть f–отображ мн-ва A в мн-во B,g–отображ мн-ва B в мн-во C. Композицией отображ f и g наз отображ h=gоf, (1), кот сопоставляет любому эл-ту a мн-ва A эл-т h(a)=g(f(a)) (2) мн-ва C. Обр вним, что в обознач опер композиции (1)первое выполняемое отображ пишется справа,второе–слева, что связ с записью (2).Осн алгебр стр-ры. Полугруппа-(S,*), где *-ассоциат, н-р, (ℕ,+). Моноид (M,*,e)-полугруппа с един эл-том, н-р (ℝ,Ч,1). Подполугруппа-подмн-во S'?S с опер *, где x*y?S' для ?x,y?S' (т.е. S' замкнуто отн-но *). Если при этом S' содержит един эл-т, то оно наз подмоноидом. Эл-т a моноида (M,∙,e) наз обратимым, если найд эл-т b?M, для кот a∙b=e=b∙a. Обратный эл-т a^-1 к a: a^-1∙a=e= a∙a^-1. Группа-это моноид G, все эл-ты кот обратимы,т.е. на мн-ве G определены бинарная ассоциат опер (x,y)?xy и един эл-т e, а для кажд эл-та x сущ обратный x^-1. Пр-р группы: (ℤ,+). Группа с коммутат опер наз абелевой. Группа с умнож-мультиплик,со слож-аддитивная. При x₁=x₂=…=x_n=x произвед xx…x наз n-ной степенью x и обознач xⁿ. Если G-группа и ?g?G: g=aⁿ, где а-фиксир эл-т, а n?ℤ, то гов, что G=?а?-циклич группа с образующим a. Две группы G и G' с опер * и ∘ наз гомоморфными, если ? отображ f:G?G',такое что f(a*b)=f(a)∘f(b). Если при этом f биект, то их наз изоморфными.

Пусть K-непустое мн-во, на кот заданы опер слож и умнож,удовл усл-ям: 1)(K,+)-абелева группа, 2)(K,∙)-полугруппа, 3)опер слож и умнож связаны законами: (a+b)c=ac+bc,c(a+b)=ca+cb.Тогда (K,+,∙) наз кольцом. Пр-ры колец: ℤ-целые числа (с обычным слож и умнож), ℤ_n-кольцо вычетов по модулю натур числа n. Поле P-это коммутат кольцо с 1?0, где кажд эл-т a?0 обратим. Кольцо целостности-коммутат кольцо с e, без делителей нуля.Делитель нуля:a?0,b?0,ab=0. Гов, что эл-т b?K делится на a?K(или b кратен a), если сущ такой эл-т c?K, что b=ac (это обознач a|b). Если a|b и b|a, то a и b наз ассоциат эл-тами.Св-ва делимости в целостном кольце K:1.Если a|b, b|c, то a|c 2.Если c|a и c|b, то c|(a±b) 3.Если a|b, то a|bc

Если кажд из эл-тов b₁,b₂…b_m?K делится на a?K,то на a будет делиться также эл-т b₁c₁ + b₂c₂ +...+b_mc_m , где с₁,с₂,...,с_m-произв эл-ты. Идеалом кольца A наз такое подмн-во I кольца A, что: 1.для ? эл-тов i и j из I, их сумма i+j также лежит в I; 2.для ? эл-та i из I его противоп эл-т -i также лежит в I; 3.(условие на правые идеалы)для ? эл-та i из I и ? эл-та a из A произвед ia также лежит в I; 4.(условие на левые идеалы)для ? эл-та i из I и ? эл-та a из A произвед ai также лежит в I.Идеал, явл одноврем левым и правым, наз двусторонним. В коммутат сл все эти 3 понятия совпад. Левый идеал кольца R наз гл левым идеалом, если он порождён одним эл-том a. Аналог определяются гл правые идеалы и гл двустор идеалы. Кольцо гл идеалов-кольцо, кажд идеал кот-го явл гл. Эл-т c наз общим делителем a и b, если a⋮c и b⋮c. Эл-т d-НОД, если он общий делитель и делится на ? другой общий делитель. Евклидово кольцо-обл целостности R, на кот зад ф-я ?:R\{0}?ℕ⋃{0}, удовл усл-ям: 1) ?(a)??(ab), 2) ?a,b?R, b?0, ?q,r?R, a=qb+r, ?(r)Алг Евклида: Пусть a,b?ℤ и одноврем ?0. Пусть послед-ть чисел a,b,r₁>r₂>…>r_n определена так, что кажд r_k-это остаток от деления r_k-2 на r_k-1, а предпоследнее делится на последнее нацело, т.е: a=bq₀+r₁, b=r₁q₁+r₂, r₁=r₂q₂+r₃, …, r_k-2=r_k-1q_k-1+r_k, r_n-1 =r_nq_n. Тогда НОД(a,b)=r_n.Теор. В евклидовом кольце K ? 2 эл-та a,b имеют НОД. При пом алг Евклида м-о найти такие u,v?K, что будет вып-но соотнош НОД(a,b)=au+bv. Эл-ты a,b?K вз просты ,когда сущ эл-ты u,v?K,для кот au+bv=1.Осн теор арифметики: Кажд целое положит число n?1 м\б запис в виде произвед простых чисел: n=p₁p₂…p_s.Эта запись единств с точн до пор множит.

2. Кольцо многочл над числ полем P.Теор Безу. Схема Горнера.Ф-ла Тейлора.Ф-лы Виета. Простейшие дроби.Интерполяц зад, её разрешимость.

Многочленом от одной перем x с коэф-тами из поля K наз выраж вида: f(x)=a₀+a₁x+...+a_n-1x^n-1+a_nxⁿ, где a_i?K, a_n?0 (старший коэфф-нт), n=deg f-степень многочлена. Обозначим как K[x] мн-во всех многочленов с коэфф-тами из поля K. Пусть f(x)=?a_ixⁱ и g(x)=?b_ixⁱ. Слож в K[x]: f(x)+g(x)= ?(a_i+b_i)xⁱ. Умнож: f(x)g(x)=?t_ixⁱ, где t_i=?a_kb_i, i=k+l, 0?k, l?i.

Теор Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x-a равен P(a). Док-во: поделим с остатком P(x) на x-a: P(x)= (x-a)Q(x)+R(x). Т. к. degR(x)Следствие: число a явл корнем P(x)когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a.

Схема Горнера: Пусть P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ. Требуется выч-ть его знач при x=x₀. Представим P(x) в виде: P(x)=a₀+x(a₁+x(a₂+ ... +x(a_n-1+a_nx)...)). Определим послед-ть: b_n=a_n, b_n-1=a_n-1+b_nx, …, b_i=a_i+b_i+1x, b₀=a₀+b₁x. Искомое значение P(x₀)=b₀. Схему м-о исп-ть для деления многочлена на бином: при делении многочлена a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n на x-c получается  с остатком .При этом коэф-ты удовл рекуррентным соотнош: . Схема Горнера также примен для опред кратности корня.

Ф-лы Виета выражают коэф-ты многочлена через его корни. Пусть f(x)-многочлен, имеющий корни .Т. к. , то получаем ф-лы: 1) ,…k) , где для

Элемент pK наз простым, если p необратим и его нельзя представить в виде , где a и b — необратимые эл-ты. Простой эл-т кольца A[x] наз неприводимым многочленом. Прав рацион дробь f/g?P(x) наз простейшей, если , , где p=p(x) – неприводимый многочлен, причем deg f < deg p. Каждая прав рацион дробь м\б разложена в сумму, и притом единств образом, в сумму простейших дробей.

Постановка задачи интерполяции: пусть –произв, а – попарно различные эл-ты поля P[x]. Треб найти многочлен f?P[x] степени такой,что .Реш этой зад всегда. Ф-ла Лагранжа: .Ф-ла Ньютона: , где опред путем последоват подстановки знач

Ф-ла Тейлора для многочленов:

R_n(x)-остаточный член формулы Тейлора.

3 Компл числа.Реш алгебр ур-ний.Формул-ка осн теор алгебры.Канон разлож компл и вещ многочл

Компл число м-о определить как упоряд пару веществ чисел (x,y). Опер слож и умнож таких пар заданы с.о: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') и (x,y)(x',y')=(xx'–yy',xy'+yx'). Компл числа также м-о представить как семейство матриц вида (x y; -y x). Чаще запис z=x+iy (алгебр форма записи). Re z=x-веществ часть, Im z=y-мнимая. Поле компл чисел обознач . Комплексно-сопряж числа: z=x+iy и =x-iy. Св-ва компл сопряж: 1. . 2. . 3. Если , то . 4. . 5. –вещ число. Число наз модулем компл числа и обознач .

Алгебр ур-я–это ур-я вида f_n=0, где f_n–многочлен от одной или неск-ких перем. a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0-алгебр ур-е n-й степ общ вида. Реш ур-я наз такой упоряд набор (₁,…,_n) n вещ чисел ₁,…,_n, что при подстан в ур-е знач x₁=₁, … ,x_n=_n получ верное рав-во a₁₁+a₂₂+…+a_n_n=b Явные ф-лы вывода корней ур-ний м-о получить т-о до ур-ний 4-й степ включит. Ур-е наз:противоречивым, если у него нет реш (ур-е вида 0=b в случае a₁=a₂=…=a_n=0 и b0)тривиальным, если его реш явл ? упоряд набор (₁,…,_n)Rⁿ(ур-е вида 0=0 в случ a₁=a₂=…=a_n=b=0);нетривиальным, если хотя бы один из коэф-тов a₁,a₂,…,a_n 0.

Пусть P-поле и f-произв многочлен над P. Поле P наз алгебр замкнутым,если ? многочлен из кольца P[x] разлагается на лин множители. Т.е. поле P алгебр замкнуто, если неприводимыми над P явл лишь многочлены степ 1(лин многочлены). Если ? многочлен fP[x] обладает в P по крайней мере одним корнем, то поле P алгебр замкнуто.Осн теор алгебры: Поле компл чисел ℂ алгебр замкнуто,Т.е. произв многочлен f(x) степени n⩾1 с компл (или вещ) коэф-тами имеет ровно n компл корней,считаемых со своими кратностями. Т.е. всякий отличный от конст многочлен с компл коэф-тами имеет по кр мере один корень в поле компл чисел.Канонич разлож компл и вещ многочленов.Многочлен наз унитарным (или приведенным),если его старший коэф-т равен 1.

Теор. Любой унит многочлен a(x)?P[x] ненулевой степ либо неприводим над P, либо расклад в произвед унит непривод над P многочленов, причем это разлож однозначно с точн до перестан сомножит.

Представление многочлена f(x) в виде: наз канонич разлож.

Кажд многочлен p_i(x) наз непривод делителем f(x), а показатель k_i–кратность p_i(x) в канонич разлож f(x).

Многочлены a₁(x),…,a_n(x)?P[x] вз просты,когда они не имеют общего неприводимого делителя.

4 Системы линейных уравнений. Матричная запись СЛУ. Теорема Крамера. Метод Гаусса численного решения СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.

Сист m лин ур-ний с n неизв x₁,…,x_n наз выраж вида:



где (1),(2),…,(m)–лин ур-я с неизв x₁, … ,x_n, коэф-тами a₁₁,a₁₂,…,a_mn и своб членами b₁, … ,b_m. При этом числа a₁₁, a₁₂, … , a_mn наз также коэф-тами сист и b₁, … ,b_m–своб членами сист.

A = (a_ij)–матрица коэф-тов. Столбец обознач как [a_1j,a_2j,...,a_mj]. b_j–своб члены. Если все b_j=0, то сист наз однородной. Реш сист-упоряд набор x₁,x₂,...,x_n, при подстан кот кажд ур-е обращ в тожд-во. Если сист не имеет реш,она наз несовместной;совместная: если одно реш-определенной,если >1 реш-неопред.

Элемент. преобраз: перестан местами 2 ? строк, умнож ? строки на конст, прибавл к ? строке другой строки,умнож на конст.

СЛУ удобно запис с пом матрицы:



Матрица A наз основной матрицей сист (*) или матрицей сист (*).

Если ввести ,,то сист (*) м-о перепис в матричном виде: AX=B. Наряду с осн матрицей A удобно рассматривать расшир матрицу сист (со столбцом свободных членов b_i)

Ф-лы Крамера. Рассм частный случай, когда A?P_n,n и det A0, т.е. A– невырожд матрица.

Теор. (правило Крамера) Сист n ур-й с n неизв в случае, когда det A=0, имеет реш, причем т-о одно. Это реш нах по ф-лам: , i=1,…,n

где =det A, –опред-ль матрицы, получаемой из A заменой i-го столбца на столбец своб членов.

Если рассм однородную СЛУ с A?P_n,n и det A0, то ф-лы Крамера дают единств нулевое реш.

Следствие. Если однородная сист n лин ур-й с n неизв имеет ненулевое реш, то det A=0.

Две СЛАУ эквив,если одна получ из другой путём примен конечной послед-ти элемент. преобраз. Всякую матрицу м-о с пом элемент. преобраз привести к ступенч виду (на этом факте основан метод Гаусса реш СЛАУ). Для совместности СЛАУ надо, чтобы после привед к ступенч виду в ней не было ур-й вида 0=b_i, при b_i?0.

Метод Гаусса:1)расшир матр сист элемент. преобраз приводят к ступенч виду;2)сравнивают ранги осн и расшир матриц и делают вывод о совместности или несовместности сист;3)в случае совместности сист в осн матрице выбир базисный минор и дальнейшими элемент. преобраз строк добиваются того, чтобы в этом миноре все эл-ты вне главной диаг стали =0, а эл-ты главной диаг =1;4)выпис сист, соответств полученной расшир матрице, после чего перепис сист, оставляя базисные неизв слева и переведя ост слагаемые в правую часть;5)если rang A=n, то в правой части стоят т-о своб члены и получено единств реш;6)если rang A
Определит(detA) матрицы A=(a_ij) наз алгебр сумма всевозможных произвед коэф-тов a_ij, взятых по 1 из кажд строки и из кажд столбца. Св-ва: При добавл к ? строке (столбцу) линейной комбин других строк det не измен. Если 2 строки совпад или ЛЗ, или одна строка нулевая,то det=0. detA=detA^T,поэт все св-ва справ и для столбцов. При перестан местами 2 строк знак det мен на противоп.

Теор Кронекера-Капелли: Чтобы сист (*) была совместной, необх и достат, чтобы ранг ее расшир матр был = рангу осн матр, т.е. rang =rang A.

Теор.Если rang =rang A=n,то сист (*) имеет единств реш.Теор. Если (*) совместна и ее ранг

5 Лин пр-ва.Матр перехода.Прямая сумма подпр-в.Матр Грамма,ранг формы.Теор Якоби. Признаки положит определ-ти квадратичной формы.

Векторным (или лин) пр-вом над полем P наз мн-во V эл-тов (именуемых векторами), удовл аксиомам: на V задана операция слож ,облад св-вами (1)x+y=y+x–коммутат,(2)(x+y)+z=x+(y+z)–ассоц-ть, (3)0-вектор:x+0=x,(4)для ?x?(-x):x+(-x)=0; задано умнож на скалярсо св-вами:(5) 1x=x (унитарность),(6)(??)x=?(?x)–ассоц-ть. А также слож и умнож связаны законами дистрибут-ти:(7) (?+?)x=?x+?x,(8)?(x+y)=?x+?y.Следствия:(а)0x=0?=0,(б)?x=0??=0 или x=0,(в)(-1)x=-x. Векторы пр-ва V наз ЛЗ, если некот их нетривиальная лин комбин =0,т. е. найдутся такие скаляры , не все =0, что =0. В прот сл, вектора наз ЛНЗ. Векторы явл ЛЗ ?когда 1 из них явл лин комбин ост-х. Базис -это сист ЛНЗ векторов. Если V-вект пр-во над базисом () то ?v?V м-о предст в виде лин комбин векторов . Координатами вектора v в базисе () наз скаляры , вход в разлож v=. Пусть () и ( два базиса n-мерного лин пр-ва V. Тогда векторы одного базиса выраж ч\з векторы другого: . Коэф-ты при этом сост матрицу перехода. С её пом м-о перевести коорд вектора из одного базиса в другой: . Обратный переход осущ с пом матрицы . Пусть V-вект пр-во, U?V-его подмн-во, явл аддит подгруппой и переходящее в себя при умнож на скаляры. Тогда U наз вект подпр-вом в V. Пусть -подпр-ва в V. Наим подпр-вом в V, содержащим явл сумма подпр-в . В сумме ненулевых пр-в ? вектор u?U запис в виде , , вообще говоря, неоднозначно. Если кажд вектор u?U м\б представлен одним и т-о одним способом, то сумма наз прямой и обознач Сумма будет и в том случае, когда однозначность записи имеет место лишь для 0-вектора, т. е. ? Сумма наз прямой?когда для i=1,2,...,m. Сумма явл прямой?когда dim .Пр-р прямой суммы: 3-мерное лин пр-во явл прямой суммой пл-ти и любой прямой, не лежащей в этой пл-ти или 3-х попарно различных непаралл прямых. Ортонормир базис-базис, составл из попарно ортогон векторов и отвечающий усл-ю единичности нормы всех его эл-тов (т.е. скал произвед ()=0 при i?j, и ()=1 при i=j).Исп-е ортонормир базисов облегчает вып-е скал произвед по координатам векторов.Пусть задан базис и вектора x и y.Скал произвед (x,y) м\б выражено через скал произвед-я векторов базиса:.Матрица скал произвед-й базисных векторов Г=(()) наз матрицей Грама.det Грамма всегда 0(=0,если вектора {e₁,e₂,…,e_n}-ЛЗ).Исп-я эту матрицу .Если базис e ортонормир (()=0 при i?j, и ()=1 при i=j)?Г явл единич, поэт (x,y)== . В частности в ортонормир базисе норма . Квадратич форма: . В матричном виде: , где A-(симметр) матрица квадратичной формы. Квадр. форму не имеющую попарных произведений переменных наз формой канонич (или диаг) вида. Минор-det, получ вычеркиванием столбца и строки. Если номера строки и столбца совпадают-главный минор.Теор Якоби (способ привед квадратичной формы к канонич виду): пусть q-квадратичная форма на V с матрицей A, все главные миноры кот ?_i?0.Тогда базис () в V,в кот q(x) принимает канонич вид: .

Признаки полож(отриц)определ-ти квадратич форм:

1.Для того,чтобы квадратич форма f(x₁,x₂,…,x_n) была положит(отриц) определ, необх и достат, чтобы она приводилась к канонич виду, состоящему из n членов с положит(отриц) коэф-тами,или(то же самое),чтобы она приводилась к норм виду с n положит (отриц) квадратами.2.Критерий Сильвестра:Квадратич форма явл положит определкогда все главные миноры её матрицы положит.
6 Лин операторы.Матрица лин отображ.Лин оператор и его матрица.Собств число и собств вектор оператора.Характеристич многочлен оператора.Собств подпр-во и его св-ва.

Пусть V и W-вект пр-ва.Отображ f:V?W наз лин,если f(x+y)=f(x)+f(y) и f(?,x)=?f(x).f-лин оператор. Сов-ть всех лин отображ V?W-это вект пр-во с опер слож и умнож на скаляры (обознач L(V,W)).Ядро отображ–подпр-во пр-ва V,сост из всех векторов пр-ва V,кот в рез-те преобраз превращ в 0-вектор:Ker f={v?V:f(v)= 0}.Образ отображ-подпр-во в W:Im f={w?W:w=f(v) для некот v?V}.Пусть заданы базисы v=(v₁,...,v_n) и w=(w₁,...,w_m) вект пр-в V и W.? вектор из образа Im f= W явл лин комбин векторов:f(v₁)=a₁₁w₁+a₂₁w₂+...+a_m1w_m,…,f(v_n) =a_1nw₁+a_2nw₂+...+a_mnw_m.Матр M_f=(a_ij) наз матрицей лин отображ f:V?W отн-но базисов v и w.Рангом лин отображ f наз размерность подпр-ва Im f.В случае V=W (обознач L(V)) эл-ты пр-ва L(V) наз лин операторами. Лин оператор явл обобщением лин числовой ф-и y=kx на случай более общих мн-в аргументов и знач.Действия над лин операторами:1.Суммой 2 лин преобраз наз лин преобраз AX+ BX вида Z=(A+B)X,с матр A+B.2.Произвед 2 лин преобраз наз лин преобраз Z=(BA)X,с матр BA (порядок важен).Лин преобраз Y=AX наз невырожд,если det A0,иначе вырожд.Рассм невырожд преобраз Y=AX,det A0,тогда Y^’=A^-1X-лин преобраз,обратное к данному.Произвед прямой и обратной матриц лин преобраз предст собой един матрицу,кот явл матрицей тождеств преобраз Y=EX(такое преобраз каждый вектор переводит в себя).Размерность ядра оператора наз дефектом.Пр-ры лин преобраз:1.Растяж при ?>0 это растяж вдоль оси Ох.растяж вдоль оси Oy.-растяж вдоль оси Ox в раз,вдоль оси Oy в раз. 2.Сдвиг -сдвиг отн-но оси Ох.-сдвиг отн-но оси Оy.3.Тождеств преобраз

Матрица A' лин оператора A в базисе (e'₁,...,e'_n) получ из матрицы A того же оператора в базисе (e₁,...,e_n) по ф-ле:A'=B^-1AB,где B-матрица перехода от (e_i) к (e'_i). Если матрица B сущ и невырожд,A и A' наз подобными (A~A').Подпр-во U?V инвариантно(т.е. неизменно)отн-но лин оператора A:V?V,если AU?U. ? ненулевой вектор из одномерного пр-ва, инвариантного отн-но A,наз собств вектором оператора А.Если x-собств вектор:Ax=?x,то скаляр ? наз собств знач оператора A.Зам,что Ax=?x?A^kx=?^kx,откуда f(A)x=f(?)x.Пусть V^?={v? V |Av=?v}-подпр-во,сост из 0-вектора и всех собств векторов, ассоциированных с собств знач ?.Ax=?x, Ay=?y?A(?x+?x)=?(?x+?x). Тогда V^? наз собств подпр-вом оператора A, ассоциированным с ?.dim V^? наз геометрич кратностью собств знач ?.Для нахожд мн-ва собств векторов , ,надо:1.найти ранг матрицы ; 2.выбрать базисный минор в матрице ,соотв ему ур-я следует решить,считая перем r_i базисными,ост-е n-r_i своб;3.придать своб перем n-r_i различные знач так,чтобы получить сист ЛНЗ векторов;тем самым найдена фундамент сист реш,чья лин комбин образует мн-во собств векторов.Характер многочленом матрицы A наз:?_A()= det(A-E).Ценность его в том,что собств знач матр явл его корнями.Всякий лин оператор на компл вект пр-ве имеет собств вектора.Характер знач подобных матриц совпад.Кратность ?,как корня характ многочлена ?_A() наз алгебр кратностью собств знач ? оператора A.

7.Опер в Евклид и унит пр-вах.Сопряж опер. Самосопряж опер.Положит опред опер.Унит и ортогон опер.

Евклид пр-во-вект пр-во L над R с умнож , удовл усл:1.. 2.3.4. Умнож-скал произвед.

Пр-ры:1.2.-пр-во непрер на [a,b] ф-й

Унит пр-во-вект пр-во над C с умнож , удовл усл-ям:1. 2. (*)3.

4..Умнож наз Эрмит произвед (или Эрмит формой).Пр-р:

Если L-евклид пр-во,то: 1.2.

Если L-унит пр-во,то:1.2.

Док-во:2.

Ф-я где L-вект пр-во над полем F,наз оператором,если:1.2.

Опер наз сопряж к f в евклид (унит) пр-ве L, если Если ,то f–самосопр (Эрмитов) опер.Для конечномерного евклид пр-ва матрица этого опер симм,а для унит пр-ва . -Эрмитов опер.Теор.Эрмитов опер имеет вещ собств знач.Док-во:;e-собств вектор с собств знач ..

Самосопр опер L конечномерного евклид пр-ва наз положит опред,если его матрица A удовл крит Сильвестра: (A₁>0…A_n>0),A_n=|A|.В этом сл квадрат ф-ла матрицы А-положит опред.Опер f евклид(унит)пр-ва наз унит(ортогон),если

Опер f евклид(унит) пр-ва наз ортогон (унит)когда он переводит некот ортонормир базис в ортонормир.
8.Эл-ты теории групп.Циклич группы, классиф. Подгруппа,пр-ры.Теор Лагранжа о группах.Норм подгруппа.Факторгруппа.Групповой гомоморфизм,его ядро и образ.Формул теор о строении конечно порожденной абел группы.Подгруппа и норм подгруппа,порожд данным мн-вом.

Опр. Пусть G–непустое мн-во с бин алгебр опер * (*:AA?A) наз группой,если:1)()(a*b)*c=a*(b*c) ассоц-ть;2)сущ eG, что () a*e=e*a=a, t-нейтр-ый. 3) (G) (G) a*b=b*a=e, b–симм к а эл-т. Если * 1) это «»-мультипл группа,нейтр эл-т явл 1, симм к а обр а^-1; 2) это «+»-аддит группа,нейтр эл-т 0,симм-й (–а)–противоп-ый. Пр. 1) (Z,+), (R,+), (C,+), (Q,+) - группы. 2) Q₀=Q\{0}, (Q₀,) -группа, все кроме Z. Циклич группы: G –группа, aG, nZ: , -дискр экспонента. Группа G наз цикл-ой с образующим эл-том а, если G={an/n}. Пр. 1) (Z,+) вместо возвед в степень n*a, образующие эл-ты 1, -1. 2) U_n={Z| Zⁿ=1}-цикл гр-а пор n из n эл-тов. Гомоморфизм - f: (G,*)?(H, ), если () F(a*b)=f(a)f(b). Пр. 1) 2^x: (R,+)? (R₊,); 2)f(x+y)=2^x+y=2^x2^y=f(x)f(y). Биект гомоморф-ие гр-ы наз изоморфизмом. Все биект цикл-ие гр-ы изоморфны. Подмн-во XG, G- группа, наз подгр-ой, если Х само явл группой по отн к бин опер G. ZG –подгруппа по сложности. Т. Лангранжа: Пусть G – гр-а, число эл-в |G|=n, HG-подгр-а, |H|=m. Тогда nm (делится нацело).

Подгр-а HG наз норм, если gG, hH: g^-1hgH. В абел группах (коммутат) все подгр-ы норм. H-подгр-а G, то мн-во Н_а={h_a|hH} наз правым смежным классом. Если Н-норм, то Н_а=аН. Для норм подгр-ы G/H= {мн-во правых смежных клас-сов}. (G/H- G профакторизировано по H): (H_a)(H_b)(H_ab); (G/H, ) –гр-а, Н-нейтр, Н_а^-1 – обр к Н.

f: G?H – гомоморф гр-а. ker f={x|f(x)=e}, ker f – ядро. Im f= {y|yH & (xG) y=f(x)}- образ:

Если f: G?H – гомоморф-я, тогда ker f – норм подгр G и f – подгр Н.