Шпаргалки на вопросы к государственному экзамену на кафедре МОИС в ОГУ - файл 1,2,3,4,5,6,7,8.docx
Шпаргалки на вопросы к государственному экзамену на кафедре МОИС в ОГУДоступные файлы (29):
1,2,3,4,5,6,7,8.docx | 115kb. | 06.03.2012 18:28 | скачать |
11,12.docx | 44kb. | 10.03.2012 01:26 | скачать |
13,14.docx | 120kb. | 10.03.2012 20:14 | скачать |
n4.docx | 44kb. | 10.03.2012 16:02 | скачать |
n5.docx | 30kb. | 10.03.2012 01:24 | скачать |
17_18_19.docx | 55kb. | 08.03.2012 12:54 | скачать |
n7.docx | 94kb. | 10.03.2012 01:21 | скачать |
n8.docx | 50kb. | 11.03.2012 21:07 | скачать |
n9.docx | 55kb. | 10.03.2012 01:21 | скачать |
n10.docx | 135kb. | 10.03.2012 18:33 | скачать |
n11.docx | 48kb. | 13.03.2012 13:31 | скачать |
n12.docx | 97kb. | 13.03.2012 13:32 | скачать |
27, 28,29,30.docx | 90kb. | 08.03.2012 16:55 | скачать |
31_32_33_34_35.docx | 93kb. | 08.03.2012 12:21 | скачать |
40,41,42,43,44,45,46,47.docx | 401kb. | 11.03.2012 21:45 | скачать |
40,41,42,43,44,45,46,47.pdf | 464kb. | 10.03.2012 20:33 | скачать |
48, 49,50,51,52.docx | 218kb. | 08.03.2012 23:28 | скачать |
53,54,55,56.docx | 341kb. | 10.03.2012 19:58 | скачать |
57, 58,59,60.docx | 287kb. | 06.03.2012 17:01 | скачать |
61,62,63,64.docx | 225kb. | 08.03.2012 16:36 | скачать |
65, 66, 67,68, 69.docx | 54kb. | 08.03.2012 15:11 | скачать |
70, 71, 72.docx | 43kb. | 09.03.2012 10:14 | скачать |
73,74,757,76,77,78,79,80,81,82.docx | 331kb. | 10.03.2012 19:47 | скачать |
n24.docx | 72kb. | 10.03.2012 11:17 | скачать |
n25.docx | 47kb. | 10.03.2012 15:33 | скачать |
85,86,87.docx | 54kb. | 11.03.2012 22:30 | скачать |
88,89,90,91,92,93,94.docx | 294kb. | 09.03.2012 21:21 | скачать |
9,10.docx | 138kb. | 10.03.2012 16:48 | скачать |
n29.docx | 78kb. | 08.03.2012 15:15 | скачать |
1,2,3,4,5,6,7,8.docx
1. Осн алгебр стр-ры.Подстр-ры.Мн-ва.НОД в кольце главных идеалов.Алг Евклида.Простые эл-ты евклидова кольца,осн теор арифмет. Из справ: осн опред-я про мн-ва. Операции-объед-е, пересеч, разности, дополнения. Изображ диаграммами Эйлера-Венна.
Пусть
X-произв мн-во. Унарная алгебр опер-это отображ f:
X?
X в себя. Бинарная алгебр опер-это произвольное (но фиксир) отображ
?:
XЧ
X декартова квадрата
X2=
XЧ
X в
X. Т.о. любой упоряд паре (
a,b) эл-тов
a,b?
X ставится в соотв однозначно определенный эл-т
?(
a,b) того же мн-ва
X. Нульарные опер-это фиксир эл-ты мн-ва X, назыв также выделенными эл-тами, иногда нулями. n-арной алгебр опер на X наз отображ f:
Xn?
X. Т.е. n-компонентному эл-ту (вектору из n эл-тов) однозначно ставится в соотв один эл-т. Число n наз арностью X. Обычно опер обозначают спец символом: Ч,∙,+. Условно назовем
a∙
b произвед-ем, а
a+b-суммой, а стр-ры, содерж эти опер, соотв-нно мультипликат и аддитивными. Сов-ть мн-ва
X и некот опер (
X,*) образует алгебр стр-ру. Подмн-во
X'?
X наз подстр-рой, если
X' замкнуто отн-но опер. Дадим некот опред-я. Ассоц-ть: (
a*b)*
c=
a*(
b*c). Коммутат-ть
: a*b=b*a. Единичный эл-т:
e*x=x*e=x, при этом в алгебр стр-ре он всегда т-о один. Декартовым произвед мн-в X и Y наз мн-во XЧY всех упоряд пар (x,y) таких,что x?X,y?Y.
Отображения Если кажд эл-ту x мн-ва X поставлен в соотв ровно один эл-т ѓ(x) мн-ва Y, то гов, что задано отображ ѓ из мн-ва X в мн-во Y. Эл-т y наз образом эл-та x при отображ ѓ, а эл-т x наз прообразом эл-та y при отображ ѓ. Обознач: ѓ: X?Y. Отображ ѓ:X?Y наз сюрьект(или отображенным на),если кажд
эл-т мн-ва Y явл
образом хотя бы одного эл-та мн-ва X(рис.2)
1.

2.

3.

Отображ ѓ: X?Y наз инъект, если разные эл-ты
мн-ва X
переводятся в разные
эл-ты мн-ва Y(рис.1). Отображ ѓ: X?Y наз биект, когда оно и сюрьект, и инъект(рис.3) Пусть f–отображ мн-ва A в мн-во B,g–отображ мн-ва B в мн-во C. Композицией отображ f и g наз отображ h=gоf, (1), кот сопоставляет любому эл-ту a мн-ва A эл-т h(a)=g(f(a)) (2) мн-ва C. Обр вним, что в обознач опер композиции (1)первое выполняемое отображ пишется справа,второе–слева, что связ с записью (2).
Осн алгебр стр-ры. Полугруппа-(
S,*), где *-ассоциат, н-р, (ℕ,+).
Моноид (
M,*,e)-полугруппа с един эл-том, н-р (ℝ,Ч,1). Подполугруппа-подмн-во
S'?
S с опер *, где
x*y?
S' для ?
x,y?
S' (т.е.
S' замкнуто отн-но *)
. Если при этом
S' содержит един эл-т, то оно наз подмоноидом. Эл-т
a моноида (
M,∙,
e) наз обратимым, если найд эл-т
b?
M, для кот
a∙
b=e=b∙
a. Обратный эл-т
a-1 к
a:
a-1∙
a=
e=
a∙
a-1. Группа-это моноид
G, все эл-ты кот обратимы,т.е. на мн-ве
G определены бинарная ассоциат опер (
x,y)?
xy и един эл-т
e, а для кажд эл-та
x сущ обратный
x-1. Пр-р группы: (ℤ,+). Группа с коммутат опер наз абелевой. Группа с умнож-мультиплик,со слож-аддитивная. При
x1=x2=…=xn=x произвед
xx…x наз
n-ной степенью
x и обознач
xn. Если
G-группа и ?
g?
G:
g=an, где
а-фиксир эл-т, а
n?ℤ, то гов, что
G=?
а?-циклич группа с образующим
a. Две группы
G и
G' с опер * и ∘ наз гомоморфными, если ? отображ
f:G?G',такое что
f(
a*b)=
f(
a)∘
f(
b). Если при этом
f биект, то их наз изоморфными.
Пусть
K-непустое мн-во, на кот заданы опер слож и умнож,удовл усл-ям: 1)(
K,+)-абелева группа, 2)(
K,∙)-полугруппа, 3)опер слож и умнож связаны законами: (
a+b)
c=ac+bc,
c(
a+b)=ca+cb.Тогда (
K,+,∙) наз кольцом. Пр-ры колец: ℤ-целые числа (с обычным слож и умнож), ℤ
n-кольцо вычетов по модулю натур числа
n. Поле
P-это коммутат кольцо с 1?0, где кажд эл-т
a?0 обратим. Кольцо целостности-коммутат кольцо с
e, без делителей нуля.Делитель нуля:
a?0,
b?0,
ab=0. Гов, что эл-т
b?
K делится на
a?
K(или b кратен a), если сущ такой эл-т
c?
K, что b=ac (это обознач a|b). Если a|b и b|a, то a и b наз ассоциат эл-тами.
Св-ва делимости в целостном кольце K:1.Если a|b, b|c, то a|c 2.Если c|a и c|b, то c|(a±b) 3.Если a|b, то a|bc
Если кажд из эл-тов
b1,b2…bm?
K делится на
a?
K,то на a будет делиться также эл-т
b1c1 + b2c2 +...+bmcm , где с
1,с
2,...,с
m-произв эл-ты. Идеалом кольца A наз такое подмн-во I кольца A, что: 1.для ? эл-тов i и j из I, их сумма i+j также лежит в I; 2.для ? эл-та i из I его противоп эл-т -i также лежит в I; 3.(условие на правые идеалы)для ? эл-та
i из
I и ? эл-та
a из
A произвед
ia также лежит в
I; 4.(условие на левые идеалы)для ? эл-та i из I и ? эл-та a из A произвед ai также лежит в I.Идеал, явл одноврем левым и правым, наз двусторонним. В коммутат сл все эти 3 понятия совпад. Левый идеал кольца R наз гл левым идеалом, если он порождён одним эл-том a. Аналог определяются гл правые идеалы и гл двустор идеалы.
Кольцо гл идеалов-кольцо, кажд идеал кот-го явл гл. Эл-т c наз общим делителем a и b, если a⋮c и b⋮c. Эл-т d-НОД, если он общий делитель и делится на ? другой общий делитель.
Евклидово кольцо-обл целостности R, на кот зад ф-я ?:R\{0}?ℕ⋃{0}, удовл усл-ям: 1) ?(a)??(ab), 2) ?a,b?R, b?0, ?q,r?R, a=qb+r, ?(r)(b) или r=0.
Алг Евклида: Пусть a,b?ℤ и одноврем ?0. Пусть послед-ть чисел a,b,r
1>r
2>…>r
n определена так, что кажд r
k-это остаток от деления r
k-2 на r
k-1, а предпоследнее делится на последнее нацело, т.е: a=bq
0+r
1, b=r
1q
1+r
2, r
1=r
2q
2+r
3, …, r
k-2=r
k-1q
k-1+r
k, r
n-1 =r
nq
n. Тогда НОД(a,b)=r
n.
Теор. В евклидовом кольце K ? 2 эл-та a,b имеют НОД. При пом алг Евклида м-о найти такие u,v?K, что будет вып-но соотнош НОД(a,b)=au+bv. Эл-ты a,b?K вз просты

,когда сущ эл-ты u,v?K,для кот au+bv=1.
Осн теор арифметики: Кажд целое положит число n?1 м\б запис в виде произвед простых чисел: n=p
1p
2…p
s.Эта запись единств с точн до пор множит.
2. Кольцо многочл над числ полем P.Теор Безу. Схема Горнера.Ф-ла Тейлора.Ф-лы Виета. Простейшие дроби.Интерполяц зад, её разрешимость. Многочленом от одной перем x с коэф-тами из поля K наз выраж вида: f(x)=a
0+a
1x+...+a
n-1x
n-1+a
nx
n, где a
i?K, a
n?0 (старший коэфф-нт), n=deg f-степень многочлена. Обозначим как K[x] мн-во всех многочленов с коэфф-тами из поля K. Пусть f(x)=?a
ix
i и g(x)=?b
ix
i. Слож в K[x]: f(x)+g(x)= ?(a
i+b
i)x
i. Умнож: f(x)g(x)=?t
ix
i, где t
i=?a
kb
i, i=k+l, 0?k, l?i.
Теор Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x-a равен P(a). Док-во: поделим с остатком P(x) на x-a: P(x)= (x-a)Q(x)+R(x). Т. к. degR(x)
Следствие: число a явл корнем P(x)
когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a.
Схема Горнера: Пусть P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn. Требуется выч-ть его знач при x=x0. Представим P(x) в виде: P(x)=a0+x(a1+x(a2+ ... +x(an-1+anx)...)). Определим послед-ть: bn=an, bn-1=an-1+bnx, …, bi=ai+bi+1x, b0=a0+b1x. Искомое значение P(x0)=b0. Схему м-о исп-ть для деления многочлена на бином: при делении многочлена a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an на x-c получается
с остатком
.При этом коэф-ты удовл рекуррентным соотнош:
. Схема Горнера также примен для опред кратности корня.
Ф-лы Виета выражают коэф-ты многочлена через его корни. Пусть f(x)-многочлен, имеющий корни
.Т. к.
, то получаем ф-лы: 1)
,…k)
, где
для 
Элемент p
K наз простым, если p необратим и его нельзя представить в виде
, где a и b — необратимые эл-ты. Простой эл-т кольца A[x] наз неприводимым многочленом. Прав рацион дробь f/g?P(x) наз простейшей, если
,
, где p=p(x) – неприводимый многочлен, причем deg f < deg p. Каждая прав рацион дробь м\б разложена в сумму, и притом единств образом, в сумму простейших дробей.
Постановка задачи интерполяции: пусть
–произв, а
– попарно различные эл-ты поля P[x]. Треб найти многочлен f?P[x] степени
такой,что
.Реш этой зад всегда
. Ф-ла Лагранжа:
.Ф-ла Ньютона:
, где
опред путем последоват подстановки знач 
Ф-ла Тейлора для многочленов: 
Rn(x)-остаточный член формулы Тейлора.


3 Компл числа.Реш алгебр ур-ний.Формул-ка осн теор алгебры.Канон разлож компл и вещ многочл
Компл число м-о определить как упоряд пару веществ чисел (x,y). Опер слож и умнож таких пар заданы с.о: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') и (x,y)(x',y')=(xx'–yy',xy'+yx'). Компл числа также м-о представить как семейство матриц вида (x y; -y x). Чаще запис z=x+iy (алгебр форма записи). Re z=x-веществ часть, Im z=y-мнимая. Поле компл чисел обознач
. Комплексно-сопряж числа: z=x+iy и
=x-iy. Св-ва компл сопряж: 1.
. 2.
. 3. Если
, то
. 4.
. 5.
–вещ число. Число
наз модулем компл числа
и обознач
.
Алгебр ур-я–это ур-я вида fn=0, где fn–многочлен от одной или неск-ких перем. a1x1+a2x2+…+anxn=0-алгебр ур-е n-й степ общ вида. Реш ур-я наз такой упоряд набор (1,…,n) n вещ чисел 1,…,n, что при подстан в ур-е знач x1=1, … ,xn=n получ верное рав-во a11+a22+…+ann=b Явные ф-лы вывода корней ур-ний м-о получить т-о до ур-ний 4-й степ включит. Ур-е наз:противоречивым, если у него нет реш (ур-е вида 0=b в случае a1=a2=…=an=0 и b0)тривиальным, если его реш явл ? упоряд набор (1,…,n)Rn(ур-е вида 0=0 в случ a1=a2=…=an=b=0);нетривиальным, если хотя бы один из коэф-тов a1,a2,…,an 0.
Пусть P-поле и f-произв многочлен над P. Поле P наз алгебр замкнутым,если ? многочлен из кольца P[x] разлагается на лин множители. Т.е. поле P алгебр замкнуто, если неприводимыми над P явл лишь многочлены степ 1(лин многочлены). Если ? многочлен fP[x] обладает в P по крайней мере одним корнем, то поле P алгебр замкнуто.Осн теор алгебры: Поле компл чисел ℂ алгебр замкнуто,Т.е. произв многочлен f(x) степени n⩾1 с компл (или вещ) коэф-тами имеет ровно n компл корней,считаемых со своими кратностями. Т.е. всякий отличный от конст многочлен с компл коэф-тами имеет по кр мере один корень в поле компл чисел.Канонич разлож компл и вещ многочленов.Многочлен наз унитарным (или приведенным),если его старший коэф-т равен 1.
Теор. Любой унит многочлен a(x)?P[x] ненулевой степ либо неприводим над P, либо расклад в произвед унит непривод над P многочленов, причем это разлож однозначно с точн до перестан сомножит.
Представление многочлена f(x) в виде:
наз канонич разлож.
Кажд многочлен pi(x) наз непривод делителем f(x), а показатель ki–кратность pi(x) в канонич разлож f(x).
Многочлены a1(x),…,an(x)?P[x] вз просты
,когда они не имеют общего неприводимого делителя.
4 Системы линейных уравнений. Матричная запись СЛУ. Теорема Крамера. Метод Гаусса численного решения СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.
Сист m лин ур-ний с n неизв x1,…,xn наз выраж вида:

где (1),(2),…,(m)–лин ур-я с неизв x1, … ,xn, коэф-тами a11,a12,…,amn и своб членами b1, … ,bm. При этом числа a11, a12, … , amn наз также коэф-тами сист и b1, … ,bm–своб членами сист.
A = (aij)–матрица коэф-тов. Столбец обознач как [a1j,a2j,...,amj]. bj–своб члены. Если все bj=0, то сист наз однородной. Реш сист-упоряд набор x1,x2,...,xn, при подстан кот кажд ур-е обращ в тожд-во. Если сист не имеет реш,она наз несовместной;совместная: если одно реш-определенной,если >1 реш-неопред.
Элемент. преобраз: перестан местами 2 ? строк, умнож ? строки на конст, прибавл к ? строке другой строки,умнож на конст.
СЛУ удобно запис с пом матрицы:

Матрица A наз основной матрицей сист (*) или матрицей сист (*).
Если ввести
,
,то сист (*) м-о перепис в матричном виде: AX=B. Наряду с осн матрицей A удобно рассматривать расшир матрицу сист (со столбцом свободных членов bi)
Ф-лы Крамера. Рассм частный случай, когда A?Pn,n и det A0, т.е. A– невырожд матрица.
Теор. (правило Крамера) Сист n ур-й с n неизв в случае, когда det A=
0, имеет реш, причем т-о одно. Это реш нах по ф-лам:
, i=1,…,n
где
=det A,
–опред-ль матрицы, получаемой из A заменой i-го столбца на столбец своб членов.
Если рассм однородную СЛУ с A?Pn,n и det A0, то ф-лы Крамера дают единств нулевое реш.
Следствие. Если однородная сист n лин ур-й с n неизв имеет ненулевое реш, то det A=0.
Две СЛАУ эквив,если одна получ из другой путём примен конечной послед-ти элемент. преобраз. Всякую матрицу м-о с пом элемент. преобраз привести к ступенч виду (на этом факте основан метод Гаусса реш СЛАУ). Для совместности СЛАУ надо, чтобы после привед к ступенч виду в ней не было ур-й вида 0=bi, при bi?0.
Метод Гаусса:1)расшир матр сист элемент. преобраз приводят к ступенч виду;2)сравнивают ранги осн и расшир матриц и делают вывод о совместности или несовместности сист;3)в случае совместности сист в осн матрице выбир базисный минор и дальнейшими элемент. преобраз строк добиваются того, чтобы в этом миноре все эл-ты вне главной диаг стали =0, а эл-ты главной диаг =1;4)выпис сист, соответств полученной расшир матрице, после чего перепис сист, оставляя базисные неизв слева и переведя ост слагаемые в правую часть;5)если rang A=n, то в правой части стоят т-о своб члены и получено единств реш;6)если rang A
Определит(detA) матрицы A=(aij) наз алгебр сумма всевозможных произвед коэф-тов aij, взятых по 1 из кажд строки и из кажд столбца. Св-ва: При добавл к ? строке (столбцу) линейной комбин других строк det не измен. Если 2 строки совпад или ЛЗ, или одна строка нулевая,то det=0. detA=detAT,поэт все св-ва справ и для столбцов. При перестан местами 2 строк знак det мен на противоп.
Теор Кронекера-Капелли: Чтобы сист (*) была совместной, необх и достат, чтобы ранг ее расшир матр был = рангу осн матр, т.е. rang
=rang A.
Теор.Если rang
=rang A=n,то сист (*) имеет единств реш.Теор. Если (*) совместна и ее ранг
5 Лин пр-ва.Матр перехода.Прямая сумма подпр-в.Матр Грамма,ранг формы.Теор Якоби. Признаки положит определ-ти квадратичной формы.
Векторным (или лин) пр-вом над полем P наз мн-во V эл-тов (именуемых векторами), удовл аксиомам: на V задана операция слож
,облад св-вами (1)x+y=y+x–коммутат,(2)(x+y)+z=x+(y+z)–ассоц-ть, (3)
0-вектор:x+0=x,(4)для ?x?(-x):x+(-x)=0; задано умнож на скаляр
со св-вами:(5) 1x=x (унитарность),(6)(??)x=?(?x)–ассоц-ть. А также слож и умнож связаны законами дистрибут-ти:(7) (?+?)x=?x+?x,(8)?(x+y)=?x+?y.Следствия:(а)0x=0?=0,(б)?x=0??=0 или x=0,(в)(-1)x=-x. Векторы
пр-ва V наз ЛЗ, если некот их нетривиальная лин комбин =0,т. е. найдутся такие скаляры
, не все =0, что
=0. В прот сл, вектора наз ЛНЗ. Векторы
явл ЛЗ ?когда 1 из них явл лин комбин ост-х. Базис
-это сист ЛНЗ векторов. Если V-вект пр-во над базисом (
) то ?v?V м-о предст в виде лин комбин векторов
. Координатами вектора v в базисе (
) наз скаляры
, вход в разлож v=
. Пусть (
) и (
два базиса n-мерного лин пр-ва V. Тогда векторы одного базиса выраж ч\з векторы другого:
. Коэф-ты
при этом сост матрицу перехода. С её пом м-о перевести коорд вектора из одного базиса в другой:
. Обратный переход осущ с пом матрицы
. Пусть V-вект пр-во, U?V-его подмн-во, явл аддит подгруппой и переходящее в себя при умнож на скаляры. Тогда U наз вект подпр-вом в V. Пусть
-подпр-ва в V. Наим подпр-вом в V, содержащим
явл сумма подпр-в
. В сумме ненулевых пр-в
? вектор u?U запис в виде
,
, вообще говоря, неоднозначно. Если кажд вектор u?U м\б представлен одним и т-о одним способом, то сумма наз прямой и обознач
Сумма будет и в том случае, когда однозначность записи
имеет место лишь для 0-вектора, т. е.
?
Сумма
наз прямой?когда
для i=1,2,...,m. Сумма явл прямой?когда dim
.Пр-р прямой суммы: 3-мерное лин пр-во явл прямой суммой пл-ти и любой прямой, не лежащей в этой пл-ти или 3-х попарно различных непаралл прямых. Ортонормир базис-базис, составл из попарно ортогон векторов и отвечающий усл-ю единичности нормы всех его эл-тов (т.е. скал произвед (
)=0 при i?j, и (
)=1 при i=j).Исп-е ортонормир базисов облегчает вып-е скал произвед по координатам векторов.Пусть задан базис
и вектора x и y.Скал произвед (x,y) м\б выражено через скал произвед-я векторов базиса:
.Матрица скал произвед-й базисных векторов Г=((
)) наз матрицей Грама.det Грамма всегда
0(=0,если вектора {e1,e2,…,en}-ЛЗ).Исп-я эту матрицу
.Если базис e ортонормир ((
)=0 при i?j, и (
)=1 при i=j)?Г явл единич, поэт (x,y)=
=
. В частности в ортонормир базисе норма
. Квадратич форма:
. В матричном виде:
, где A-(симметр) матрица квадратичной формы. Квадр. форму
не имеющую попарных произведений переменных наз формой канонич (или диаг) вида. Минор-det, получ вычеркиванием столбца и строки. Если номера строки и столбца совпадают-главный минор.Теор Якоби (способ привед квадратичной формы к канонич виду): пусть q-квадратичная форма на V с матрицей A, все главные миноры кот ?i?0.Тогда
базис (
) в V,в кот q(x) принимает канонич вид:
.
Признаки полож(отриц)определ-ти квадратич форм:
1.Для того,чтобы квадратич форма f(x1,x2,…,xn) была положит(отриц) определ, необх и достат, чтобы она приводилась к канонич виду, состоящему из n членов с положит(отриц) коэф-тами,или(то же самое),чтобы она приводилась к норм виду с n положит (отриц) квадратами.2.Критерий Сильвестра:Квадратич форма явл положит определ
когда все главные миноры её матрицы положит.
6 Лин операторы.Матрица лин отображ.Лин оператор и его матрица.Собств число и собств вектор оператора.Характеристич многочлен оператора.Собств подпр-во и его св-ва.
Пусть V и W-вект пр-ва.Отображ f:V?W наз лин,если f(x+y)=f(x)+f(y) и f(?,x)=?f(x).f-лин оператор. Сов-ть всех лин отображ V?W-это вект пр-во с опер слож и умнож на скаляры (обознач L(V,W)).Ядро отображ–подпр-во пр-ва V,сост из всех векторов пр-ва V,кот в рез-те преобраз превращ в 0-вектор:Ker f={v?V:f(v)= 0}.Образ отображ-подпр-во в W:Im f={w?W:w=f(v) для некот v?V}.Пусть заданы базисы v=(v1,...,vn) и w=(w1,...,wm) вект пр-в V и W.? вектор из образа Im f= W явл лин комбин векторов:f(v1)=a11w1+a21w2+...+am1wm,…,f(vn) =a1nw1+a2nw2+...+amnwm.Матр Mf=(aij) наз матрицей лин отображ f:V?W отн-но базисов v и w.Рангом лин отображ f наз размерность подпр-ва Im f.В случае V=W (обознач L(V)) эл-ты пр-ва L(V) наз лин операторами. Лин оператор явл обобщением лин числовой ф-и y=kx на случай более общих мн-в аргументов и знач.Действия над лин операторами:1.Суммой 2 лин преобраз наз лин преобраз AX+ BX вида Z=(A+B)X,с матр A+B.2.Произвед 2 лин преобраз наз лин преобраз Z=(BA)X,с матр BA (порядок важен).Лин преобраз Y=AX наз невырожд,если det A
0,иначе вырожд.Рассм невырожд преобраз Y=AX,det A
0,тогда Y’=A-1X-лин преобраз,обратное к данному.Произвед прямой и обратной матриц лин преобраз предст собой един матрицу,кот явл матрицей тождеств преобраз Y=EX(такое преобраз каждый вектор переводит в себя).Размерность ядра оператора наз дефектом.Пр-ры лин преобраз:1.Растяж
при ?>0 это растяж вдоль оси Ох.
растяж вдоль оси Oy.
-растяж вдоль оси Ox в
раз,вдоль оси Oy в
раз. 2.Сдвиг
-сдвиг отн-но оси Ох.
-сдвиг отн-но оси Оy.3.Тождеств преобраз 
Матрица A' лин оператора A в базисе (e'1,...,e'n) получ из матрицы A того же оператора в базисе (e1,...,en) по ф-ле:A'=B-1AB,где B-матрица перехода от (ei) к (e'i). Если матрица B сущ и невырожд,A и A' наз подобными (A~A').Подпр-во U?V инвариантно(т.е. неизменно)отн-но лин оператора A:V?V,если AU?U. ? ненулевой вектор из одномерного пр-ва, инвариантного отн-но A,наз собств вектором оператора А.Если x-собств вектор:Ax=?x,то скаляр ? наз собств знач оператора A.Зам,что Ax=?x?Akx=?kx,откуда f(A)x=f(?)x.Пусть V?={v? V |Av=?v}-подпр-во,сост из 0-вектора и всех собств векторов, ассоциированных с собств знач ?.Ax=?x, Ay=?y?A(?x+?x)=?(?x+?x). Тогда V? наз собств подпр-вом оператора A, ассоциированным с ?.dim V? наз геометрич кратностью собств знач ?.Для нахожд мн-ва собств векторов
,
,надо:1.найти ранг матрицы
; 2.выбрать базисный минор в матрице
,соотв ему ур-я следует решить,считая перем ri базисными,ост-е n-ri своб;3.придать своб перем n-ri различные знач так,чтобы получить сист ЛНЗ векторов;тем самым найдена фундамент сист реш,чья лин комбин образует мн-во собств векторов.Характер многочленом матрицы A наз:?A(
)= det(A-
E).Ценность его в том,что собств знач матр явл его корнями.Всякий лин оператор на компл вект пр-ве имеет собств вектора.Характер знач подобных матриц совпад.Кратность ?,как корня характ многочлена ?A(
) наз алгебр кратностью собств знач ? оператора A.
7.Опер в Евклид и унит пр-вах.Сопряж опер. Самосопряж опер.Положит опред опер.Унит и ортогон опер.
Евклид пр-во-вект пр-во L над R с умнож
, удовл усл:1.
. 2.
3.
4.
Умнож-скал произвед.
Пр-ры:1.
2.
-пр-во непрер на [a,b] ф-й 
Унит пр-во-вект пр-во над C с умнож
, удовл усл-ям:1.
2.
(*)3.
4.
.Умнож наз Эрмит произвед (или Эрмит формой).Пр-р: 
Если L-евклид пр-во,то: 1.
2.
Если L-унит пр-во,то:1.
2.
Док-во:2.
Ф-я
где L-вект пр-во над полем F,наз оператором,если:1.
2.

Опер
наз сопряж к f в евклид (унит) пр-ве L, если
Если
,то f–самосопр (Эрмитов) опер.Для конечномерного евклид пр-ва матрица этого опер симм,а для унит пр-ва
.
-Эрмитов опер.Теор.Эрмитов опер имеет вещ собств знач.Док-во:
;e-собств вектор с собств знач
.
.
Самосопр опер L конечномерного евклид пр-ва наз положит опред,если его матрица A удовл крит Сильвестра: (A1>0…An>0),An=|A|.В этом сл квадрат ф-ла матрицы А-положит опред.Опер f евклид(унит)пр-ва наз унит(ортогон),если 
Опер f евклид(унит) пр-ва наз ортогон (унит)
когда он переводит некот ортонормир базис в ортонормир.
8.Эл-ты теории групп.Циклич группы, классиф. Подгруппа,пр-ры.Теор Лагранжа о группах.Норм подгруппа.Факторгруппа.Групповой гомоморфизм,его ядро и образ.Формул теор о строении конечно порожденной абел группы.Подгруппа и норм подгруппа,порожд данным мн-вом.
Опр. Пусть G–непустое мн-во с бин алгебр опер * (*:AA?A) наз группой,если:1)(
)(a*b)*c=a*(b*c) ассоц-ть;2)сущ e
G, что (
) a*e=e*a=a, t-нейтр-ый. 3) (
G) (
G) a*b=b*a=e, b–симм к а эл-т. Если * 1) это «»-мультипл группа,нейтр эл-т явл 1, симм к а обр а-1; 2) это «+»-аддит группа,нейтр эл-т 0,симм-й (–а)–противоп-ый. Пр. 1) (Z,+), (R,+), (C,+), (Q,+) - группы. 2) Q0=Q\{0}, (Q0,) -группа, все кроме Z. Циклич группы: G –группа, a
G, n
Z:
,
-дискр экспонента. Группа G наз цикл-ой с образующим эл-том а, если G={an/n
}. Пр. 1) (Z,+) вместо возвед в степень n*a, образующие эл-ты 1, -1. 2) Un={Z| Zn=1}-цикл гр-а пор n из n эл-тов. Гомоморфизм - f: (G,*)?(H, ), если (
) F(a*b)=f(a)f(b). Пр. 1) 2x: (R,+)? (R+,); 2)f(x+y)=2x+y=2x2y=f(x)f(y). Биект гомоморф-ие гр-ы наз изоморфизмом. Все биект цикл-ие гр-ы изоморфны. Подмн-во X
G, G- группа, наз подгр-ой, если Х само явл группой по отн к бин опер G. Z
G –подгруппа по сложности. Т. Лангранжа: Пусть G – гр-а, число эл-в |G|=n, H
G-подгр-а, |H|=m. Тогда n
m (делится нацело).
Подгр-а H
G наз норм, если
g
G,
h
H: g-1hg
H. В абел группах (коммутат) все подгр-ы норм. H-подгр-а G, то мн-во На={ha|h
H} наз правым смежным классом. Если Н-норм, то На=аН. Для норм подгр-ы G/H= {мн-во правых смежных клас-сов}. (G/H- G профакторизировано по H): (Ha)(Hb)
(Hab); (G/H, ) –гр-а, Н-нейтр, На-1 – обр к Н.
f: G?H – гомоморф гр-а. ker f={x|f(x)=e}, ker f – ядро. Im f= {y|y
H & (
x
G) y=f(x)}- образ:
Если f: G?H – гомоморф-я, тогда ker f – норм подгр G и f – подгр Н.